- •3. Числовые и функциональные ряды
- •3.1. Числовые ряды: основные определения
- •3.2. Простейшие свойства числовых рядов. Необходимый признак сходимости
- •3.3. Признаки сходимости числовых рядов с положительными членами
- •3.4. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость
- •3.5. Функциональные ряды: основные определения
- •3.6. Степенные ряды
- •3.7. Ряды Тейлора
- •4. Основы теории функций комплексного переменного
- •4.1. Комплексные числа: определение, алгебра комплексных чисел, алгебраическая форма записи
- •4.2. Геометрическое изображение комплексных чисел. Тригонометрическая и показательная формы записи комплексного числа
- •4.3. Формула Муавра и извлечение корня п-ой степени из комплексного числа
- •4.4. Функции комплексного переменного
- •1. Показательная функция
- •2. Логарифмическая функция
- •3. Тригонометрические функции
- •4. Гиперболические функции
- •5. Обратные тригонометрические функции
- •6. Общая степенная функция
- •4.5. Дифференцирование функций комплексного переменного. Аналитические функции
- •5. Контрольная работа № 8. Задания
- •5.1. Пример выполнения контрольной работы № 8. Вариант № 0
- •5.2. Варианты заданий контрольной работы № 8
- •Рекомендуемая литература
3.7. Ряды Тейлора
Мы рассматривали степенные ряды вида
или
Каждый из таких рядов в своей области сходимости сходится к некоторой функции, сумме степенного ряда. Для приложений важно уметь данную функцию разлагать в степенной ряд, т.е. функциюпредставлять в виде суммы степенного ряда.
Как известно, для любой функции , определённой в окрестности точкии имеющей в ней производные до-го порядка включительно, справедливаформула Тейлора:
, (10)
где –остаточный член в форме Лагранжа. Число можно записать в виде, где.
Формулу (10) кратко можно записать в виде
,
где –многочлен Тейлора.
Если функция имеет производные любых порядков ( т.е. бесконечно дифференцируема ) в окрестности точки, то в формуле Тейлора мы можем использовать сколь угодно много членов. Тогда формула (10) примет вид:
. (11)
Определение. Ряд в разложении (11), называется рядом Тейлора для функции , а коэффициенты этого степенного ряда
называются коэффициентами Тейлора.
Если в ряде Тейлора положить , то получим разложение функции по степенямв так называемыйряд Маклорена:
Замечание. В ряд Тейлора можно разложить любую бесконечно дифференцируемую в окрестности точки функции. Это является необходимым условием разложения функциив ряд Тейлора. Но отсюда ещё не следует, что он будет сходиться к данной функции; он может оказаться расходящимся или сходящимся, но не к функции.
Теорема. Для того чтобы при некотором значении имело место разложение (11), необходимо и достаточно, чтобы при этом значенииостаточный член формулы Тейлора (10) стремился к нулю при неограниченном возрастании, т.е. чтобы
.
Способы разложения функции в ряд Тейлора
1. Непосредственное разложение
Для разложения функции в ряд Тейлора нужно:
а) найти все производные до порядка включительно:
;
б) вычислить значения производных в точке ;
в) составить ряд ;
г) найти радиус сходимости степенного ряда и интервал сходимости;
д) доказать, что остаточный член ряда при,;
е) Таким образом, при.
2. Косвенное разложение
В этом случае используют уже известные разложения и, применяя метод подстановки, получают разложения для других рядов.
Приведём разложения основных элементарных функций в ряд Маклорена:
1. ,;
2. ,;
3. ,;
4. ,;
5. ,;
6.
,;
В частности,
а) ;
б) ;
7. ,;
8.
, ;
9. ,.
Пример 12. Разложить в ряд Маклорена функцию , пользуясь косвенным методом.
Решение. Заменяя нав разложении 6, получим:
, .
Пример 13. Разложить функцию в ряд Тейлора в окрестности точки(по степеням).
Решение. Разложим функцию на сумму простейших дробей:
.
Найдём :
Таким образом,
.
Разложим дроби ив ряд Тейлора по степеням, используя разложения 6а) и 6б) :
Следовательно, разложение функции в ряд Тейлора по степенямимеет вид:
где
–интервал сходимости.
4. Основы теории функций комплексного переменного