3.4. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость

Определение. Числовой ряд называется знакопеременным, если среди его членов имеются как положительные, так и отрицательные члены.

Теорема. Пусть – знакопеременный ряд. Если ряд, составленный из абсолютных величин его членов, сходится, то данный рядтакже сходится.

В этом случае знакопеременный ряд называется абсолютно сходящимся.

Если же знакопеременный ряд сходится, а рядрасходится, то рядназываетсяусловно сходящимся. Сумму условно сходящегося ряда путём перестановки его членов можно сделать равной любому заданному числу.

Для ответа на вопрос об абсолютной сходимости ряда к рядуможно применять все признаки, используемые для рядов с положительными членами.

Определение. Знакочередующимся называется ряд, в котором любые два соседних члена имеют разные знаки, т.е. ряд:

(2)

или

(3)

где все – положительные действительные числа.

Признак Лейбница

Знакочередующийся ряд (2) или (3) сходится, если выполняются условия:

(4)

(абсолютные величины членов ряда монотонно убывают);

(общий член ряда стремится к нулю при ).

Пример 6. Исследовать на сходимость ряд .

Решение. 1. Проверим, сходится ли данный знакопеременный ряд абсолютно. Для этого исследуем на сходимость ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда:

.

Так как

,

то

.

Поскольку ряд , являющийся рядом Дирихле с , сходится, то на основании первого признака сравнения, так как сходится больший ряд, то сходится и меньший ряд . А значит, исходный ряд сходится абсолютно.

Пример 7. Исследовать на сходимость ряд .

Решение. 1. Проверим, сходится ли данный ряд абсолютно. Для этого исследуем на сходимость ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда:

.

Сравним данный ряд с рядом Дирихле , который расходится, так как.

Так как

,

то по второму признаку сравнения ряд также расходится.

Следовательно, исходный ряд не является абсолютно сходящимся.

2. Используя признак Лейбница, выясним, является ли данный знакочередующийся ряд условно сходящимся. Для этого проверим условия (4):

1)

Очевидно, что данное неравенство верно для любого

2) .

Таким образом, для данного знакочередующегося ряда выполняются условия признака Лейбница, откуда следует, что исходный ряд сходится условно.

3.5. Функциональные ряды: основные определения

Определение. Ряд, членами которого являются функции, называется функциональным, т.е. это ряд вида

(5)

Придавая аргументу определенное значение, мы получим числовой ряд.

Определение. Функциональный ряд называется сходящимся в точке, если сходится соответствующий ему числовой ряд.

Определение. Множество всех тех значений , при которых функцииопределены и функциональный ряд (5) сходится, называется областью сходимости функционального ряда.

Определение. Функциональный ряд называется абсолютно сходящимся в области, если в этой области сходится ряд, составленный из модулей его членов, т.е. сходится ряд.

Определение. Функциональный ряд называется условно сходящимся в области, если в этой области ряд, составленный из модулей его членов, расходится, а сам ряд сходится.

Замечание. Исследуя функциональный ряд на абсолютную сходимость можно применять признаки Даламбера или Коши. Именно, если

или

,

то для определения области абсолютной сходимости функционального ряда (5) следует решить функциональное неравенство , а для определения области расходимости – функциональное неравенство. При этом для изучения поведения ряда в граничных точках получаемой области, т.е. в точках, описываемых уравнением, требуется исследовать соответствующие числовые ряды, получаемые подстановкой граничных точек в функциональный ряд (5).

Пример 8. Найти область сходимости функционального ряда

.

Решение. Исследуем ряд на абсолютную сходимость. Для этого рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда

.

По признаку Коши

.

Таким образом, интервал абсолютной сходимости ряда:

;

;

.

Исследуем сходимость ряда на концах интервала.

При получим ряд

,

который расходится, так как общий член ряда не стремится к нулю, т.е. не выполняется необходимое условие сходимости ряда.

Аналогично, при , получим расходящийся ряд

.

Следовательно, согласно последнему замечанию

ряд при

Пример 9. Найти область сходимости функционального ряда

.

Решение. 1) Исследуем ряд на абсолютную сходимость. Зафиксируем и рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда

.

Сравним ряд из абсолютных величин с рядом Дирихле , который расходится, т.к.. Применим второй признак сравнения. Для этого вычислим:

.

Так как получили независящий от и отличный от нуля предел, то при любомрасходится и ряд.

Следовательно, ряд при любомне является абсолютно сходящимся рядом.

2) Исследуемый ряд при всех является знакочередующимся рядом. Используя признак Лейбница, выясним, является ли данный ряд условно сходящимся. Для этого проверим условия (4):

а)

Очевидно, что данное неравенство верно для любого и.

б) При всех выполняется

.

Таким образом, для данного знакочередующегося ряда при любом выполняются условия признака Лейбница. Следовательно, рядсходится условно при всех.