3.6. Степенные ряды

Определение. Степенным рядом называется функциональный ряд вида

, (6)

где – постоянные числа, называемые коэффициентами ряда.

Если , то степенной ряд примет вид:

(7)

Теорема (Абеля). Если степенной ряд (6) сходится в точке , то он абсолютно сходится в каждой точке, для которой.

Следствие. Если степенной ряд (6) расходится при некотором значении , то он расходится и при всех значениях, для которых.

Из теоремы Абеля и её следствия следует, что для степенного ряда (6) возможны три случая:

1. ряд сходится только в точке ;

2. ряд сходится при всех ;

3. существует число такое, что при всехиз интерваларяд сходится абсолютно, а при всех, для которых, ряд расходится.

Определение. Радиусом сходимости ряда (6) называется число , такое, что приряд сходится, а прирасходится. Интервалв этом случае называется интервалом сходимости ряда (6).

Замечание 1. Если числовой ряд (6) сходится на всей числовой оси, то полагают ; если он сходится только при, то.

Замечание 2. На концах интервала вопрос о сходимости или расходимости данного ряда решается путём исследования соответствующих числовых рядов, получающихся при подставлении граничных значений в исследуемый ряд.

Для отыскания интервала и радиуса сходимости степенного ряда можно пользоваться одним из следующих способов:

1) Если среди коэффициентов ряда нет равных нулю, т.е. ряд содержит все целые положительные степени разности, то для вычисления радиуса сходимостистепенного ряда можно применять формулы:

(8)

(9)

2) Во всех случаях интервал сходимости можно находить, применяя непосредственно признак Даламбера или признак Коши к ряду, составленному из абсолютных величин членов исходного ряда, т.е. к ряду

или

.

Пример 10. Найти область сходимости ряда .

Решение. Так как среди коэффициентов ряда есть нулевые, то найдем интервал сходимости, применяя признак Даламбера к ряду, составленному из абсолютных величин членов исходного ряда, т.е к ряду

.

Имеем:

; ;

.

Тогда

.

По признаку Даламбера ряд сходится, если . Значит, интервалом абсолютной сходимости данного ряда будет интервал:

;

;

.

Исследуем сходимость ряда на концах интервала.

При , получим числовой ряд

.

1. Исследуем ряд на абсолютную сходимость. Для этого исследуем на сходимость ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда:

.

Сравним его с гармоническим рядом , который расходится.

Так как

,

т.е. . Следовательно, на основании второго признака сравнения ряд также расходится.

Следовательно, исходный ряд не является абсолютно сходящимся.

2. Используя признак Лейбница, исследуем ряд на условную сходимость. Для этого проверим условия (4):

1)

Очевидно, что данное неравенство верно для любого

2) .

Таким образом, для данного знакочередующегося ряда выполняются условия признака Лейбница, откуда следует, что исходный ряд сходится условно.

При получим ряд

,

расходимость которого доказана выше.

Следовательно, – область сходимости ряда;

–область абсолютной сходимости ряда.

Пример 11. Найти область сходимости ряда .

Решение. Так как ряд содержит все целые положительные степени разности и все коэффициенты ряда содержатся в степени, то для вычисления радиуса сходимостистепенного ряда воспользуемся формулой (9).

Так как , то согласно формуле (9) находим

.

Таким образом, исследуемый ряд сходится абсолютно на всей числовой оси.