4.2. Геометрическое изображение комплексных чисел. Тригонометрическая и показательная формы записи комплексного числа

Поскольку комплексное число мы определили как упорядоченную пару действительных чисел, то вполне естественно изобразить комплексное число точкой плоскости с декартовыми координатамилибо вектором, идущим из начала координат в эту точку (рис. 1).

Рис. 1.

На оси Ох расположены все действительные числа, а на оси Оу – чисто мнимые, т.е. комплексные числа вида .

Плоскость, на которой изображаются комплексные числа, называется комплексной плоскостью (её также обозначают C). Ось абсцисс называется действительной осью, а ось ординат – мнимой.

Длина вектора , изображающего комплексное число, естьмодуль комплексного числа:

,

а угол , который образует этот вектор с осьюОх, называется аргументом комплексного числа .

Очевидно, что угол определён с точностью до.

Условимся называть главным значением аргумента – значение угла в интервале. Символически главное значение аргумента комплексного числа обозначают:

Тогда всю совокупность значений аргумента обозначают символом:

Очевидны формулы:

при

при

Из рис. 1 легко получить соотношения: , тогда

.

Определение. Представление комплексного числа в виденазываетсятригонометрической формой записи комплексного числа.

Для сокращения записи комплексных чисел в тригонометрической форме удобно использовать формулу Эйлера:

.

Тогда комплексное число можно записать в виде:

.

Определение. Представление комплексного числа в виденазываетсяпоказательной формой записи комплексного числа.

Таким образом, комплексное число может быть записано в трёх равноправных формах:

–алгебраическая форма записи комплексного числа;

–тригонометрическая форма записи комплексного числа;

–показательная форма записи комплексного числа,

где ,

Пример 3. Записать комплексные числа в трёх формах записи:

а) ; б); б)и изобразить их векторами на плоскости.

Решение. а) – алгебраическая форма записи комплексного числа. Находим модуль и аргумент комплексного числа.

Здесь ,

Значит,

–тригонометрическая форма записи комплексного числа ;

–показательная форма записи комплексного числа .

б) – алгебраическая форма записи комплексного числа. Находим модуль и аргумент комплексного числаЗдесьЗначит,

–тригонометрическая форма записи комплексного числа ;

–показательная форма записи комплексного числа .

в) – алгебраическая форма записи комплексного числа. Находим модуль и аргумент комплексного числаЗдесь

Значит,

–тригонометрическая форма записи комплексного числа ;

–показательная форма записи комплексного числа .

Рис. 2.

Изображения комплексных чисел представлены на рис. 2.