3. Числовые и функциональные ряды

3.1. Числовые ряды: основные определения

Пусть задана бесконечная последовательность чисел (действительных или комплексных)

Определение. Числовым рядом называется выражение вида

(1)

Ряд обозначается: . Числаназываются членами ряда. Ряд (1) задан, если известен его общий член, т.е. указано правило, по которому каждому номеруставится в соответствие определённое значение функции.

Определение. Сумма конечного числа первых членов числового ряда называется- й частичной суммой, т.е.

.

Рассмотрим последовательность частичных сумм числового ряда

Определение. Если существует конечный предел последовательности частичных сумм, равный, то ряд называется сходящимся, аназывается его суммой:

.

Если предел последовательности не существует или равен бесконечности, то ряд называется расходящимся.

Определение. Если в ряде (1) отбросить первые членов, то получится ряд:

,

называемый остатком ряда (1) .

3.2. Простейшие свойства числовых рядов. Необходимый признак сходимости

Свойства:

1. Если ряд сходится, то сходится и любой из его остатков. Если сходится какой-либо из остатков ряда, то сходится и сам ряд.

2. Если числовой ряд сходится и его сумма равна, то и ряд, где– произвольное число, также сходится и его сумма равна.

3. Если ряды исходятся и их суммы равны соответственнои, то рядтакже сходится и его сумма равна.

Необходимый признак сходимости ряда

Если ряд сходится, то общий член рядастремится к нулю при стремлениик бесконечности, т.е.

.

Следствие. Если общий член ряда не стремится к нулю пристремящемся к бесконечности, т.е. если не выполняется условие

,

то ряд расходится.

Замечание. Условие является необходимым, но недостаточным, т.е. если, то ряд может, как сходится, так и расходится. Например, рядрасходится, хотя.

Пример 1. Используя необходимый признак сходимости, доказать расходимость ряда .

Решение. Согласно необходимому условию, если ряд сходится, то .

Имеем: .

Найдем :

Так как не выполняется необходимое условие сходимости ряда, то ряд расходится.

3.3. Признаки сходимости числовых рядов с положительными членами

Первый признак сравнения

Пусть и- ряды с положительными членами, причёмпри любых, начиная с некоторого, т.е. для всех. Тогда:

1. если ряд сходится, то сходится и ряд;

2. Если ряд расходится, то расходится и ряд.

Второй признак сравнения

Пусть и- ряды с положительными членами, причем существует конечный и отличный от нуля предел

,

Тогда ряды исходятся или расходятся одновременно.

Замечание 1. При использовании 1-го и 2-го признаков сравнения, как правило, сравнивают исходный ряд с рядами, о которых заранее известно, сходятся они или расходятся:

1. ряд Дирихле – сходится при и расходится при. Приполучаем ряд , называемый гармоническим.

2. ряд вида

,

члены которого образуют геометрическую прогрессию со знаменателем . Ряд сходится, еслии расходится при.

Замечание 2. При отыскании ряда для сравнения по второму признаку, можно в общем члене исследуемого ряда заменять бесконечно малую функцию на эквивалентную ей функцию, используя основные эквивалентности бесконечно малых функций при:

Если в результате замены мы получим ряд, рассмотренный в замечании 1, то его можно взять в качестве ряда , с которым нужно сравнить исследуемый ряд.

Замечание 3. Вопрос о сходимости рядов вида:

,

где и– многочлены степениm и k, решается путем сравнения с рядом Дирихле , где . При этом целесообразно применять второй признак сравнения.

Признак Даламбера

Пусть – ряд с положительными членами, и существует конечный предел

.

Тогда при , данный ряд сходится; при– расходится.

Радикальный признак Коши

Пусть – ряд с положительными членами, и существует конечный предел

.

Тогда при , данный ряд сходится; при– расходится.

Замечание 4. Если в признаках Даламбера и Коши предел не существует или равен 1, то ряд может, как сходится, так и расходится. В этом случае требуется исследовать ряд с помощью других методов.

Интегральный признак Коши

Пусть – ряд с положительными членами иположительная, непрерывная и монотонно убывающая на промежуткефункция такая, что

Тогда ряд и несобственный интегралсходятся или расходятся одновременно.

Пример 2. Исследовать сходимость ряда , используя первый признак сравнения.

Решение. Так как , то,

а ряд , члены которого образуют геометрическую прогрессию со знаменателем, сходится. Тогда на основании первого признака сравнения, рядтакже сходится.

Пример 3. Используя второй признак сравнения, исследовать сходимость ряда: .

Решение. Имеем: .

Аналогично случаю, рассмотренному в замечании 3, данный ряд можно сравнить с рядом , где ;, который сходится, т.к..

Применим второй признак сравнения. Для этого вычислим:

.

Так как ряд сходится, то по второму признаку сравнения сходится и ряд .

Пример 4. С помощью признака Даламбера исследовать сходимость ряда:

.

Решение. Имеем:

.

Тогда

Следовательно, по признаку Даламбера данный ряд сходится.

Пример 5. С помощью признака Коши исследовать сходимость ряда

.

Решение. Имеем:

Тогда

Следовательно, по признаку Коши исследуемый ряд расходится.