![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Оглавление
- •Введение
- •1. Дифференциальные уравнения
- •1.1. Дифференциальные уравнения первого порядка: основные определения, задача Коши
- •1.2. Уравнения с разделяющимися переменными
- •1.3. Однородные уравнения и уравнения, приводящиеся к ним
- •1.3.1. Однородные уравнения
- •1.3.2. Уравнения, приводящиеся к однородным
- •1.4. Линейные уравнения
- •1.5. Уравнения Бернулли
- •1.6. Уравнения в полных дифференциалах
- •1.7. Дифференциальные уравнения высших порядков: основные определения, теорема Коши
- •1.8. Уравнения, допускающие понижение порядка
- •1.9. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка
- •1.9.1. Линейные однородные дифференциальные уравнения (лоду) второго порядка с постоянными коэффициентами
- •1.9.2. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения (лнду) второго порядка с постоянными коэффициентами
- •2. Контрольная работа № 7. Задания
- •2.1. Пример выполнения контрольной работы № 7. Вариант № 0
- •2.2. Варианты заданий контрольной работы № 7
1.8. Уравнения, допускающие понижение порядка
Рассмотрим некоторые типы дифференциальных уравнений n-го порядка, допускающие понижение порядка.
I.
Уравнения вида
.Общее решение
получается путём n-кратного
интегрирования
,
где
.
Пример 12.
Найти общее решение уравнения
и его частное решение, удовлетворяющее
начальным условиям
.
Решение. Интегрируя первый раз, получаем:
.
Повторное интегрирование даёт:
.
–общее решение
дифференциального уравнения.
Подставив теперь
в полученное общее решение и выражение
для первой производной начальные
условия, получим систему двух уравнений
с неизвестными
:
Решив эту систему,
найдём значения параметров
.
Следовательно, искомое частное решение
имеет вид:
.
II.
Уравнения вида
,
не содержащие явно искомой функции
и её производных до порядка
включительно. С помощью замены
порядок уравнения понижается наk
единиц:
.
Пример 13.
Найти частное решение уравнения
,
удовлетворяющее начальным условиям
.
Решение.
Данное уравнение не содержит
и
.
Положим
,
тогда
,
и уравнение принимает вид:
,
или
.
Это линейное
уравнение первого порядка относительно
функции
.
Решаем его методом Бернулли, т.е. делаем
подстановку
,
:
Выбираем функцию
так, чтобы
– это уравнение с разделяющимися
переменными. Разделяя переменные и
интегрируя, получим:
.
Тогда
Учитывая, что
,
получаем:
Вспоминая, что
,
имеем:
.
Последовательно проинтегрировав 2 раза, найдём общее решение заданного дифференциального уравнения:
.
Используя начальное
условие
,
получаем
.
Начальное условие
позволяет определить
,
а из условия
следует, что
.
Итак, искомое частное решение есть
.
III.
Уравнения вида
,
не содержащие явно независимой переменной
.
Подстановкой
и т.д. порядок уравнения понижается на
единицу.
Пример 14.
Найти общий интеграл уравнения
.
Решение.
Положим
.
Тогда уравнение преобразуется к виду:
.
Приведя подобные
и сократив на
(при этом следует учесть теряемое решение
,
или
),
получим:
.
Положив здесь
,
придём к уравнению
.
Сократив на z
(при этом следует учесть ещё одно решение
,
т.е.
),
получим:
,
откуда
,
или
.
Интегрируя последнее уравнение, находим:
или
.
Окончательно
получим:
– общее решение исходного дифференциального
уравнения. Заметим, что в общее решение
входят найденные ранее частные решения.
IV.
Уравнение вида
,
однородное относительно функции и её
производных, т.е. такое, что
.
Подстановкой
порядок уравнения понижается на единицу.
Пример 15.
Найти общее решение уравнения
.
Решение. Легко убедиться, что данное уравнение является однородным относительно функции у и её производных.
Положим
.
Тогда
и уравнение принимает вид:
.
Сокращая на
(при этом получается решение
),
находим:
,
или
,
,
откуда
.
Так как
,
то приходим к уравнению
,
или
,
откуда
,
.
Это и есть общее
решение, которое содержит и частное
решение
.
1.9. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка
Определение. Линейным неоднородным дифференциальным уравнением второго порядка называется уравнение вида
,
(16)
где функции
и
непрерывны на некотором отрезке
При этих условиях
существует единственное решение
уравнения (16), удовлетворяющее заданным
начальным условиям:
при
.
Функция
называетсяправой
частью уравнения (16),
а соответствующее уравнение называется
также линейным дифференциальным
уравнением второго порядка с правой
частью. При
приходим к линейному однородному
дифференциальному уравнению второго
порядка (или уравнению без правой части)
(17)
Определение.
Функции
и
называютсялинейно
независимыми
на отрезке
,
если тождество
(18)
имеет
место тогда и только тогда, когда
Если же существуют
такие числа
и
,
из которых хотя бы одно отлично от нуля,
что для всех
имеет место тождество (18), то функции
и
называютсялинейно
зависимыми
на отрезке
.
Данные определения равносильны следующим:
функции
и
называются линейно независимыми
(зависимыми) на отрезке
,
если
О линейной
зависимости или независимости функций
и
можно судить по определителю
который называется определителем Вронского (или просто вронскианом).
Теорема 1. Если
и
линейно зависимы на отрезке
,
то определитель Вронского
для всех
.
Теорема 2. Если
и
линейно независимые на отрезке
решения дифференциального уравнения
(17), то определитель Вронского этих
функций отличен от нуля во всех точках
отрезка
,
т.е.
для всех
.
Пример 16. Установить линейную зависимость или независимость данных пар функций на областях их определения:
а)
;
б)
.
Решение. а)
Функции
и
определены на всей числовой прямой,
т.е. при
Находим:
,
.
Вычислим определитель Вронского:
Следовательно,
функции
и
являются линейно независимыми.
б) Функции
и
определены на всей числовой прямой,
т.е. при
Находим:
,
.
Вычислим для них определитель Вронского:
для всех
Следовательно,
функции
и
являются линейно зависимыми.
Структура общего решения линейного дифференциального уравнения
Теорема 3. Общее
решение
линейного однородного дифференциального
уравнения (17) имеет вид
,
где
и
– линейно независимые решения этого
уравнения.
Таким образом, для того, чтобы получить общее решение однородного уравнения (17), достаточно найти любые два линейно независимых частных решения этого уравнения (в этом случае говорят, что они образуют фундаментальную систему решений уравнения (17)).
Теорема 4. Общее
решение
линейного неоднородного дифференциального
уравнения (16) представляется в виде
суммы
,
где
– общее решение соответствующего
однородного уравнения (17), а
–некоторое
частное решение неоднородного уравнения
(16).