Введение
Данное учебное пособие предназначено для студентов, обучающихся заочно по специальностям 080109 «Бухгалтерский учёт, анализ и аудит» и 080502 «Экономика и управление на предприятии (машиностроение, городское хозяйство)». Пособие разработано в соответствии с требованиями Государственных образовательных стандартов данных специальностей и содержит те разделы курса математики, которые изучаются в соответствии с учебной программой в IV семестре. В пособии изложены основные теоретические положения дифференциальных уравнений, числовых и функциональных рядов и теории функций комплексного переменного, приведено большое количество примеров решения задач. После самостоятельного изучения теоретического материала и приобретения навыков решения задач студенты должны выполнить две контрольные работы. Варианты заданий контрольных работ и примеры их выполнения также приведены в пособии.
Следует отметить, что данное пособие должно рассматриваться лишь как основа для изучения указанных выше разделов математики. При самостоятельной работе следует обращаться и к другим источникам учебной литературы, перечень которых приведён в конце пособия.
1. Дифференциальные уравнения
1.1. Дифференциальные уравнения первого порядка: основные определения, задача Коши
Определение. Функциональное уравнение
(1)
или
, (2)
связывающее между
собой независимую переменную
,
искомую функцию
и её производную
называется дифференциальным уравнением
первого порядка.
Определение.
Решением
уравнения (1) или (2) называется такая
дифференцируемая функция
,
которая при подстановке в уравнение
вместо неизвестной функции обращает
его в тождество.
Процесс нахождения решения дифференциального уравнения называется интегрированием дифференциального уравнения.
Определение.
Общим решением
дифференциального
уравнения (1) в области
называется функция
,
обладающая следующими свойствами: 1)
она является решением данного уравнения
при любых значениях произвольной
постоянной
;
2) для любого начального условия
такого, что
,
существует единственное значение
,
при котором решение
удовлетворяет заданному начальному
условию.
Определение.
Уравнение
определяющее
общее решение как неявную функцию,
называется общим интегралом
дифференциального уравнения.
Определение.
Всякое
решение
,
получающееся из общего решения
при конкретном значении
,
называется частным решением.
Определение.
Задача, в которой требуется найти частное
решение уравнения
,
удовлетворяющее начальному условию
,
называется задачей Коши.
Построенный на
плоскости хОу
график всякого решения
дифференциального уравнения называетсяинтегральной
кривой этого
уравнения. Таким образом, общему решению
на плоскостихОу
соответствует семейство интегральных
кривых, зависящее от одного параметра
– произвольной постоянной
,
а частному решению, удовлетворяющему
начальному условию
,
– кривая этого семейства, проходящая
через заданную точку
.
Теорема Коши.
Если в дифференциальном уравнении (2)
функция
непрерывна и имеет непрерывную производную
в некоторой областиD,то решение
дифференциального уравнения
при начальном
условии
существует и притом единственно, т.е.
через точку
проходит
единственная интегральная кривая
данного уравнения.
Пример 1.
Доказать, что при каждом
функция
является решением дифференциального
уравнения
Решение. Функция задана неявно. Применяя правило дифференцирования неявной функции, имеем:
.
Отсюда
.
Подставляя найденное
значение
в данное дифференциальное уравнение,
получим тождество
,
.
Значит, функция
является решением данного дифференциального
уравнения, что и требовалось доказать.
Пример 2.
Функция
задана параметрически:
,
.
Доказать, что эта функция является
решением уравнения
.
Решение. При каждом значении параметра t имеем:
.
Тогда
Получили верное
равенство, т.е. функция
является решением данного уравнения.