1.2. Уравнения с разделяющимися переменными

Определение. Дифференциальное уравнение первого порядка называется уравнением с разделяющимися переменными, если его можно представить в виде:

, (3)

т.е. правая часть уравнения есть произведение двух функций, одна из которых зависит только от переменной , а вторая – только от.

В дифференциальной форме записи уравнение с разделяющимися переменными выглядит следующим образом:

Разделим обе части уравнения (3) на и домножим на, получим:

.

Проинтегрируем обе части последнего равенства:

отсюда

где – первообразная для функции;

–первообразная для функции .

Таким образом, есть общий интеграл дифференциального уравнения (3).

Уравнения вида

приводятся к уравнениям с разделяющимися переменными с помощью замены

Пример 3. Решить уравнение .

Решение. Разделив обе части уравнения на , имеем

.

Интегрируем:

,

, отсюда

–общее решение данного дифференциального уравнения.

Пусть теперь , т.е.. Непосредственной подстановкой убеждаемся, что– решение исходного уравнения. Но оно не будет особым, так как его можно получить из общего решения при.

Пример 4. Решить уравнение .

Решение. Данное уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными, если положить .

Имеем:

Одно решение последнего уравнения очевидно: . Находим остальные его решения:

Разделяем переменные:

, .

Решение можно получить из последнего соотношения при, поэтому,

Окончательно

_, или

–общее решение дифференциального уравнения.

1.3. Однородные уравнения и уравнения, приводящиеся к ним

1.3.1. Однородные уравнения

Определение. Функция называется однородной функцией -го порядка относительно переменныхи, если для неё выполняется равенство:.

Например: а) – однородная функция второго порядка, так как;

б) не является однородной функцией, так как.

Порядок однородной функции может быть и нулевым, т.е.

.

Однородную функцию нулевого порядка всегда можно представить как функцию, аргументом которой является отношение , т.е..

Определение. Дифференциальное уравнение вида

называется однородным уравнением первого порядка, если и– однородные функции одного и того же порядка.

Обычно однородные уравнения разрешают относительно производной и записывают в виде:

. (4)

Уравнение (4) сводится к уравнению с разделяющимися переменными с помощью подстановки .

Пример 5. Решить уравнение .

Решение. Данное уравнение является однородным вида :

Положим , тогда,. Подставляя в данное уравнение, получим:

, отсюда

,

т.е. получили уравнение с разделяющимися переменными.

Разделяем переменные:

Интегрируем обе части последнего равенства:

,

.

Учитывая, что , получаем:

, или

–общий интеграл данного дифференциального уравнения.