![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Оглавление
- •Введение
- •1. Дифференциальные уравнения
- •1.1. Дифференциальные уравнения первого порядка: основные определения, задача Коши
- •1.2. Уравнения с разделяющимися переменными
- •1.3. Однородные уравнения и уравнения, приводящиеся к ним
- •1.3.1. Однородные уравнения
- •1.3.2. Уравнения, приводящиеся к однородным
- •1.4. Линейные уравнения
- •1.5. Уравнения Бернулли
- •1.6. Уравнения в полных дифференциалах
- •1.7. Дифференциальные уравнения высших порядков: основные определения, теорема Коши
- •1.8. Уравнения, допускающие понижение порядка
- •1.9. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка
- •1.9.1. Линейные однородные дифференциальные уравнения (лоду) второго порядка с постоянными коэффициентами
- •1.9.2. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения (лнду) второго порядка с постоянными коэффициентами
- •2. Контрольная работа № 7. Задания
- •2.1. Пример выполнения контрольной работы № 7. Вариант № 0
- •2.2. Варианты заданий контрольной работы № 7
1.3.2. Уравнения, приводящиеся к однородным
Рассмотрим дифференциальное уравнения вида
,
(5)
где
– постоянные, а
– непрерывная
функция своего аргумента
.
Если
,
то уравнение (5) является однородным и
интегрируется, как указано в п. 1.3.1.
Если хотя бы одно
из чисел
отлично от
нуля, то следует различать два случая:
1) Определитель
.
Вводя новые переменные
,
где
– решение системы
получим однородное уравнение.
2) Определитель
.
Подстановка
позволяет привести уравнение (5) к
уравнению с разделяющимися переменными.
Пример 6.
Решить уравнение
.
Решение. Уравнение принадлежит к первому типу, поскольку
и
.
Находим решение системы
Производим в
исходном уравнении замену переменных,
полагая
.
Тогда
.
Уравнение преобразуется к виду
,
,
или
.
В полученном
однородном уравнении положим
,
откуда
.
Подставляя в последнее уравнение и
преобразуя, придём к уравнению с
разделяющимися переменными:
,
,
или
.
Разделяем переменные:
.
Интегрируя, получим:
,
,
или после замены
:
.
Возвращаясь к
переменным
и
,
после элементарных преобразований
найдём общий интеграл исходного уравнения
.
Пример 7.
Решить уравнение
.
Решение. Уравнение принадлежит ко второму типу, поскольку
.
Положим поэтому
,
.
Данное уравнение примет вид:
,
или
.
Разделяя переменные и интегрируя, получим:
.
Возвращаясь к
исходным переменным
,
получим окончательный ответ
.
1.4. Линейные уравнения
Определение.
Дифференциальное
уравнение первого порядка называется
линейным, если оно содержит
и
в первой степени, т.е. имеет вид:
(6)
При
уравнение (6) примет вид:
и называется линейным однородным. Оно является уравнением с разделяющимися переменными, а его общее решение имеет вид
,
где
– произвольная постоянная, а
– одна из первообразных функции
.
Интегрирование линейного неоднородного уравнения (6) можно провести методом Бернулли.
Положим
,
тогда
.
Подставляя выражения для
и
в уравнение (6), получим:
.
Перенесём слагаемое
в левую часть и сгруппируем с
,
вынося
в качестве общего множителя:
.
(7)
Согласно методу
Бернулли функцию
выбирают так, чтобы
.
Интегрируем уравнение с разделяющимися
переменными:
и выбираем какое-либо
его частное решение
.
Подставляя найденную функцию
в уравнение (7), получаем уравнение с
разделяющимися переменными относительно
функции
:
,
,
тогда
,
т.е.
находим общее решение этого уравнения
.
Учитывая, что
,
получаем общее решение уравнения (6):
.
Пример 8.
Найти общее решение уравнения
.
Решение. Данное уравнение является линейным неоднородным.
Решим это уравнение
методом Бернулли. Сделаем подстановку:
.
Имеем:
,
.
(8)
Функцию
выберем так, чтобы
,
отсюда
.
Интегрируя обе части последнего равенства, получаем:
,
.
Подставим найденную
функцию
в уравнение (8), получим:
,
.
Вспоминая, что
окончательно получаем общее решение
данного дифференциального уравнения:
.
Пример 9.
Найти частное решение уравнения
,
удовлетворяющее начальному условию
Решение.
Относительно
это уравнение не является линейным.
Перепишем уравнение в виде
.
Это уравнение
линейно относительно функции
и её производной
:
.
Решим его методом
Бернулли:
.
Имеем:
,
.
(9)
Решаем уравнение
с разделяющимися переменными
и находим его частное решение:
.
Подставим найденную
функцию
в равенство (9), получим:
.
Учитывая, что
получим общее решение уравнения
.
Найдём частное
решение, используя заданное начальное
условие
,
т.е.
:
.
Тогда частное решение имеет вид: