Таблицей уместно пользоваться, если табличные значения нашей функции носят монотонный характер.
Метод наименьших квадратов с неизвестными базовыми функциями
Рассмотрим задачу обработки экспериментальных данных. Эксперименты проходят при условии, что на вход системы u подается n значений α1, α2,. . . , αn и регистрируется один показатель ее реакции y. Нужно построить функцию, которая прогнозирует результаты експеримента при известных числовых значениях входов, в виде
f(u, Θ) = Θ1α1(u1) + Θ2α2(u2) + . . . + Θnαn(un),
где αi(u) — неизвестные, но в каждом эксперименте можно измерять значение αij(ui), i = 1, 2, . . . , N,
j = 1, 2, . . . , n. Вводим столбец неизвестных Θ~ |
= |
. . |
1. |
и строку α~(u) = (α1(u), . . . , αn(u)). Тогда |
|
|
|
Θ |
|
|
|
~ |
|
Θn |
|
|
|
f(u, Θ) = (α~(u), Θ) — скалярное произведение векторов. |
|
|
|
||
Есть набор данных {(α(ui), yi), i = 1, N} = {(αi1, αi2, . . . , αin ,yi), где N — количество проведенных экспериментов. Для i-го эксперимента получим ошибку Ei(Θ) = f(ui, Θ) − yi. Система ошибок на N
экспериментах имеет вид: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. .1. (Θ) = |
a |
11Θ1 + |
a |
12Θ2 + |
. . . |
+ |
a |
1nΘn − |
1 |
, |
(5.5) |
E |
|
|
|
|
y |
|
|||||
EN (Θ) = aN1Θ1 + aN2Θn + . . . + aNnΘn |
− |
yN . |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
•Назад •Первая •Предыдущая •Следующая •Последняя •Перейти •Предметный указатель
Мера ошибки
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
I(Θ) = |
Ei2(Θ). |
(5.6) |
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
Xi |
|
|
|
Нужно найти такое значение Θ, чтобы (5.6) было минимальным. |
|
|||||
|
E |
; R = |
α11 . . . |
α1n |
; yˆ = col(y1, . . . , yn). |
|
Обозначения : E(Θ) = |
. .1. |
. . . . . . |
. . . |
|
||
|
EN |
αN1 . . . αNn |
|
|
||
Используя обозначения, систему (!!) можно записать в виде E(Θ) = RΘ −yˆ. Обозначим E — транспонированную матрицу E.
Тогда
I(Θ) = E (Θ)E(Θ) = (RΘ − yˆ) (RΘ − yˆ) =
(Θ R − yˆ )(RΘ − yˆ) = Θ R RΘ − Θ R yˆ − yˆ RΘ + yˆ yˆ.
Принимая во внимание, что Θ R yˆ = yˆ RΘ, получим:
I(Θ) = Θ R RΘ − 2ˆy RΘ + yˆ yˆ(Θ Θ = Θ2 = Θ 2.
Реализуем необходимое условие существования екстремума :
IΘ = 2Θ R R − 2ˆy R = 0 (Θ R R) = (ˆy R) |
|
R RΘ = R yˆ. |
(5.7) |
•Назад •Первая •Предыдущая •Следующая •Последняя •Перейти •Предметный указатель
Θ ищется как решение системы линейных алгебраических уравнений (!!!). Если R R — матрица системы, для которой существует (R R)−1
Θ0 = (R R)−1R yˆ.
•Назад •Первая •Предыдущая •Следующая •Последняя •Перейти •Предметный указатель
Предметный указатель
аппроксимация, 2 непрерывная (интегральная), 3 точечная, 3
•Назад •Первая •Предыдущая •Следующая •Последняя •Перейти •Предметный указатель