Раздел 4. Численное решение систем нелинейных уравнений
Содержание
Сжимающие отображения и решение систем нелинейных уравнений |
2 |
Метод Ньютона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
2 |
Существование корней системы и сходимость метода Ньютона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
4 |
Модифицированный метод Ньютона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
5 |
Метод итераций |
5 |
Метод наискорейшего спуска (метод градиента) |
7 |
•Назад •Первая •Предыдущая •Следующая •Последняя •Перейти •Предметный указатель
Сжимающие отображения и решение систем нелинейных уравнений
Метод Ньютона
Пусть дана нелинейная система уравнений |
|
|
|
|
||
|
f2 |
(x1 |
, x2 |
, . . . xn) = 0, |
|
|
|
f1 |
(x1 |
, x2 |
, . . . , xn) = 0, |
|
|
|
. . . . . . . . . |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
fn (x1, x2, . . . , xn) = 0. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
Представим эту систему в |
матричном виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
f (~x) = 0, |
|
|
||
где |
~x = x2 |
|
f~ = f2 |
. |
||
|
||||||
|
|
x1 |
|
|
f1 |
|
|
.x. . |
.f. . |
||||
|
|
n |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
Пусть найдены p-ые приближения
~x(p) = x(1p), x(2p), . . . , x(np)
(4.1)
(4.2)
•Назад •Первая •Предыдущая •Следующая •Последняя •Перейти •Предметный указатель
одного из изолированных корней ~x = (x1, x2, . . . , xn) векторного уравнения (4.2). Тогда точный корень можно представить в виде
где ~ε(p) = ε(1p), ε(2p), . . . , ε(np)
Подставим (4.3) в (4.2):
~x = ~x(p) + ~ε(p), |
(4.3) |
— погрешность корня.
f~ ~x(p) + ~ε(p) = 0. |
(4.4) |
Пусть ~ — непрерывная дифференцированная в некоторой выпуклой области вектор-функция, f(x)
которая содержит ~x и ~x(p), разложим левую часть (4.4) в ряд по степеням малого вектора ~ε(p), ограничившись линейными членами:
|
~ |
|
~x |
(p) |
(p) |
~ |
(p) |
|
~ |
|
(p) |
(p) |
= 0. |
|
(4.5) |
|
|
f |
|
|
~ε |
= f ~x |
|
+ f‘ ~x |
|
~ε |
|
||||||
относительно переменных x1 |
, x2,0 |
. . . , xn |
|
понимать |
|
|
|
|
1 |
2 |
, . . . , f |
n |
||||
Из (4.5) вытекает, что под f~ |
~x(p)+ надо |
матрицу Якоби системы функций f |
, f |
|
||||||||||||
|
|
|
|
W (~x) = |
∂f1 |
. . . |
|
∂f1 |
. |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
∂fn |
. . . . . . |
∂fn |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
∂x1 |
|
|
|
∂xn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂x1 |
. . . |
|
∂xn |
|
|
|
|
|||
Система (4.5) представляет собой систему линейных уравнений относительно погрешностей ε(ip) (i = 1, 2, . . . , n) с матрицей W (x), поэтому формула (4.5) приобретет вид
~ (p) (p) (p)
f ~x = W (~x )~ε = 0.
•Назад •Первая •Предыдущая •Следующая •Последняя •Перейти •Предметный указатель
Предполагая, что W (x) — невырожденная матрица, находим
~ε(p) = −W −1 ~x(p) f~ ~x(p) ,
значит,
~x |
(p+1) |
= ~x |
(p) |
− W |
−1 |
~x |
(p) ~ |
~x |
(p) |
. |
(4.6) |
||
|
|
|
|
|
f |
|
|
||||||
В качестве нулевого приближения ~x |
0 |
|
|
|
|
близкое к искомому корню значение. |
|
||||||
|
нужно брать |
|
|
|
|
|
|
||||||
Существование корней системы и сходимость метода Ньютона
Теорема 1 Имеем нелинейную систему уравнений с действительными коэффициентами (1.1‘), где вектор-функция определена и непрерывна вместе со своими частными производными 1-го и 2-го порядков в области ω. Будем считать, что ~x0 есть точка, которая лежит в ω вместе со своей замкнутой H-окрестностью. Причем выполнены условия:
1.Матрица Якоби при ~x=~x0 имеет обратную 0, где || 0|| 6 A0, (в смысле m-нормы).
2.|| 0f(x0)|| 6 B0 6 H/2.
3. 3 |
n |
∂2fi(x) |
| 6 C при i, k = 1, 2, . . . , n. |
|
=1 | |
|
|
||
∂xj∂xk |
||||
|
iP |
|
|
|
4. A0, B0 и C удовлетворяют неравенству µ0 = 2A0B0C 6 1.
Тогда процесс Ньютона (1.5) при начальном приближении ~x0 сходится и предельный вектор
~x = lim ~x(p)
•Назад •Первая •Предыдущая •Следующая •Последняя •Перейти •Предметный указатель