2.4 Метод Ньютона (дотичних, лінеаризації)

Є одним із найбільш популярних чисельних методів. Має другий порядок збіжності і допускає різні модифікації, які застосовуються при розв’язуванні нелінійних задач, систем нелінійних рівнянь і сіткових рівнянь. Але він застосовується при досить жорстких обмеженнях [1] на функцію

Розглянемо рівняння (2.1) і припустимо, що на відрізку функція двічі диференційована, причому ´і´´ не дорівнюють нулю на . Виберемо початкове наближенняі проведемо в точцідотичну до кривої (рис. 2.3). Рівняння дотичної має вигляд ´

Нехай . Знайдемо точку перетинудотичної з віссюОХ , абсциса якої буде наближенням кореня :

Рис. 2.3. Геометрична інтерпретація методу Ньютона

У точці знову проводимо дотичну до кривої та отримаємо наступне наближення кореня. Продовжуючи цей процес, отри­маємо ітераційну формулуметоду Ньютона:

(2.5)

Геометрична інтерпретація методу полягає в заміні невеликої дуги кривої дотичною, яка проводиться в точцікривої (рис. 2.3).

Метод Ньютона можна розглядати як частковий випадок мето­ду простих ітерацій, якщо

Тоді умова збіжності матиме вигляд

Загалом метод Ньютона характеризується другим порядком збіжності в околі кореня і першим порядком – за його межами. Суттєвим є вибір початкового наближення. Невдало вибране початкове наближення, наприклад, на рис. 2.3, унеможливлює пошук кореня. Початкове наближення треба виби­рати так, щоб виконувалася умова

>0 (2.6)

Теорема 6. Достатні умови збіжності методу Ньютона.

Нехай виконуються такі умови:

• функція визначена та двічі диференційована на відрізку;

• відрізку належить тільки один простий коріньтак, що<0;

• похідні таназберігають знак, і;

• початкове наближення задовольняє нерівності>0 (знаки функційтав точцізбігаються).

Тоді методом Ньютона (2.5) можна визначити корінь рівняння з довільною точністю.

Теорема 7. Достатні умови збіжності методу Ньютона.

Нехай:

- визначена у відкритому інтервалі;

- є ліпшиць-неперервною з константоюдля;

- для деякого >0 виконується умовадля.

Тоді, якщо рівняння має розв’язок, то послідовність, яка визначається (2.5) існує та збігається до. Більш того

Точність -го наближення:, де- найменше значенняна відрізку. Інша оцінка:, де.

Зауваження 1. Якщо , то- кратний корінь, а метод Ньютона збігається лінійно.

Зауваження 2. Метод Ньютона може застосовуватися не тільки для знаходження простих коренів, тобто коли на відрізку , який містить корінь, не виконується умова<0.

Зауваження 3. Виконання умов теорем 6,7 гарантує збіжність метода Ньютона тільки для "гарного" початкового наближення :>0 ів околі кореня.

Приклад 1. Обчислити методом Ньютона від’ємний корінь рівняння з 5 вірними знаками.

Інтервал кореня: , причому´<>0 при,

Так як >0 і, то за вихідне наближення приймаємо. Послідовні наближення наведені в таблиці;

і т. д.

Таблиця 2.1

Результати обчислень

0	-11	3453	-5183	0,66622
1	-10,33378	308,0708	-4277,077	0,07203
2	-10,26175	3,28807	-4185,823	0,00079
3	-10,26098	0,06536	-4184,8545	0,00002
4	-10,26096

Відповідь:

Приклад 2. Знайти за методом Ньютона найменший додатний корінь рівняння з точністю до 0,0001.

Будуємо графіки і. Інтервал кореня.

Запишемо рівняння у вигляді . Тоді:.

Так як <0,<0 приі<0, то за початкове наближення приймаємо.

Таблиця 2.1

Результати обчислень

0		-1	-4,712	-0,21222
1	4,50017	-0,02974	-4,3993	-0,00676
2	4,49341	-0,00012	-4,38604	-0,00002

Для оцінки похибки знаходимо: , тому що<0 при. Тоді<0,00003, тобто:. Враховуючи попередній аналіз, остаточно:, де.

Приклад 3. Методом Ньютона з точністю знайти корінь трансцендентного рівняння, причому шуканий корінь.

На множині виконуються умови теореми 1, які забезпечують збіжність метода дотичних>0 на множині.<0>0. Тоді>0. Тому початкове наближення.

Таблиця 2.2

Результати обчислень

	0	1	2	3
	1,000	0,73304	0,70381	0,703467
	–	0,27	0,029	0,00034
	0,63212	0,05690	0,00065

Відповідь:.

Приклад 4. Побудувати ітераційну формулу Ньютона для рівняння .

Розв’язування. Застосовуючи (2.5). отримаємо

Це відома формула Герона для наближеного відшукання квадратного кореня числа а .

Приклад 5. Знайти корінь рівняння методом хорд з точністю.

Відокремимо корінь на відрізку . Тоді для:

Порівняємо метод Ньютона з методом хорд (приклад 2 розділ 2.3). За 5 кроків метод Ньютона дає похибку обчислень майже у 10000 раз меншу.

Приклад 6. Порівняємо метод Ньютона з методом хорд. У таблиці наведено хід ітерацій у разі добування квадратного кореня з а = 16 . Перші два наближен­ня взяті однаковими. З порівняння видно, що метод хорд збігається повільніше.

; .

Таблиця 2.3

Результати обчислень

n	за методом Ньютона	хп за методом хорд
0	2,0000	2,0000
1	5,0000	5,0000
2	4,1000	3,7143
3	4,0012	3,9673