5.7 Поліноми Чебишева

Похибка формули Лагранжа залежать від вигляду функції, яка не піддається регулюванню, і добутку, який залежить від вузлів інтерполяції. При невдалому розташуванні вузлів інтерполяції верхня межа модуля похибкиможе бути дуже великою. Наприклад, якщо взяти вузли біля одного з кінців відрізка, тобуде дуже великою. Виникає задача про найбільш раціональний вибір вузлів інтерполяціїпри заданій їх кількостіп, щоб мала найменше значення максимуму на відрізку.

Цю задачу розв’язав П.Л. Чебишева, який довів, що найкращий вибір вузлів інтерполяції задається формулою:

, де - нулі полінома Чебишева..

Тоді: .

Вузли не рівновіддалені. Вони згущаються біля кінців відрізка.

Властивості поліномів Чебишева:

- функція - поліномп степеня;

- поліноми Чебишева І роду ортогональні на відрізку з вагою:;

- усі корені знаходяться на інтервалі, тобто вони усі дійсні і;

- максимальна значення надорівнює 1:;

- коефіцієнт при длядорівнює;

- поліном парний при парномуп і непарний при непарному п;

- основні рекурентні співвідношення для :

- задовольняє диференціальному рівнянню:

- основна властивість поліномів Чебишева: серед усіх поліномів степеня п поліном найменше відхиляється від 0.

Таким чином при інтерполяції по поліномам Чебишева в якості базисних функцій вибирають .

Приклади поліномів:

5.8 Інші методи інтерполяції. Інтерполяційний многочлен Ньютона

Інколи зручніше при функціональній інтерполяції використовувати многочлени Ньютона, якими можна послідовно підвищувати степінь інтерполяції при додаванні чергових доданків. Такі несиметричні многочлени засновані на розділених і кінцевих різницях, які обчислюються по інтерпольованій сітковій функції ([1],[2]).

Розділені різниці вводяться для функції , яка задана на нерівномірній сітці, а скінчені різниці – на рівномірній сітці.

Розділена різниця І порядку: .

Розділена різниця ІІ порядку: .

Розділена різниця -го порядку:.

Скінченна різниця І порядку: .

Скінченна різниця ІІ порядку: .

Скінченна різниця -го порядку:, де- біноміальний коефіцієнт.

Для гладких функцій іпри.

Нехай вихідна функція задана на нерівномірній сітці., тобто. Длякускового способу маємо шаблон , тоді многочлен Ньютона-го степеня:

(5.6)

Глобальний спосіб: ,, тобто на сітці.

Для рівномірної сітки маємо для кускового способа:

(5.7)

- інтерполяційний багаточлен для інтерполяції вперед (на початку таблиці) або екстраполяції назад.

Залишковий член:

(5.8)

де - деяке проміжне значеннях.

Якщо фазу інтерполяції визначити відносно кінцевої точки інтервала інтерполяції, то:

(4)

При отримаємо розв’язок задачіглобальної інтерполяції.

- многочлен для інтерполяції назад або екстраполяції вперед – другий інтерполяційний многочлен Ньютона.

Залишковий член записується у формі (5.8), де .

Зауваження:

1. Згідно з теоремою про єдиність розв’язку задачі інтерполяції многочлен Ньютона є тотожним до многочлену, коефіцієнти якого є розв’язком системи початкових умов або до многочлену Лагранжа, якщо вузли інтерполяції та інтерпольована функція однакові.

2. Для підвищення (зниження) точності інтерполяції многочленами Ньютона треба додати (відняти) відповідну кількість доданків. Це інколи спрощує алгоритм інтерполяції.

3. При інтерполяції по І або ІІ інтерполяційному многочленах Ньютона шаблони інтерполяції доцільно вибирати так, щоб точка х була якомога ближча до середини відрізка .

4. Залишковий член (5.8) збігається із залишковим членом для многочлена Лагранжа.

5. Для гладких функцій при підвищенні порядку скінчених різниць виконується при ,тому як тільки черговий доданок в розглянутих многочленах стає менше заданої точності обчислень, збільшення степеня треба припинити.

Приклад 1. Обчислити значення функції в точці , яка задана таблицею за допомогою многочлена Ньютона 3 степеня:

Таблиця 5.3

Таблиця значень f(x)

	0	1	2	3
	2	3	4	5
	7	5	8	7

1. Побудуємо многочлен Ньютона, який виконується при довільному розташуванні вузлів. Тоді:

.

2. Для І інтерполяційного многочлена Ньютона:

3. Для ІІ інтерполяційного многочлена Ньютона:

Звідси длямаємо.

Приклад 2. Нехай в прикладі 1 отриманий новий результат . Розташуємо його в кінці таблиці. Розв’яжемо задачу з додатковим значенням сіткової функції.

Відповідно до (5.6) маємо:

Якщо додати новий вузол спочатку таблиці, то результат буде таким же

Приклад 3. Для сіткової функції, яка задана таблицею 5.2, знайти лінійний і квадратичний многочлени Ньютона, та на їх основі обчислити .

Інтервал інтерполяції .

.

Порівнюючи з результатами розділа 5.2 для многочленів Лагранжа, маємо .

Точне значення .

Приклад 4. Знайти апріорну оцінку похибки лінійної інтерполяції на відрізку .

Оцінимо похідну чисельними диференціюванням. Для цього знаходимо. Тоді.

Приклад 5. Для сіткової функції, яка задана таблицею 5.3, побудувати інтерполяційні многочлени 1 і 2 степенів для знаходження значень у точках

1. Для маємо шаблон, тобтодля квадратичної інтерполяції та шаблон, тобтодля лінійної інтерполяції. Тоді.

.

2. Для маємо шаблониабодля квадратичної інтерполяції таабодля лінійної інтерполяції. Тоді.

.

.

3. Для можна використати;, тобто виконаємо екстраполяцію.

4. Для виберемо спочатку шаблонабодля квадратичної інтерполяції іабодля лінійної інтерполяції. Тоді.

;

.

Виберемо шаблон абодля квадратичної інтерполяції таабодля лінійної інтерполяції.