4.2 Зведення слар до вигляду, який придатний до застосування методу ітерації.

Нехай маємо СЛАР (4.3). Якщо то помножимо (4.3) зліва на матрицюдематриця з малими за модулем коефіцієнтами.Тодіабо

(4.10)

де .

Вибираючи так, щоб отримаємо СЛАР, яка придатна до застосування методу ітерацій.

На практиці із заданої системи виділяють рівняння з коефіцієнтами, модулі яких більше суми модулів коефіцієнтів рівняння. Кожне виявлене рівняння записують у такий рядок нової системи, щоб найбільший за модулем коефіцієнт був діагональним.

З останніх невикористаних і виділених рівнянь системи складають лінійні комбінації лінійно незалежні між собою так, щоб був виконаний вказаний вище принцип комплектування нової системи й усі вільні рядки були заповнені.

Приклад 1. Звести систему до вигляду, який зручний для застосування метода ітерації:

Четверте рівняння вихідної системи записуємо першим, а друге – третім. Від першого рівняння вихідної системи віднімемо друге і записуємо результат другим рівнянням. Від подвоєної суми першого і третього рівнянь віднімаємо друге і четверте рівняння і записуємо результат четвертим рівнянням.

Розв’язуючи цю систему відносно діагональних елементів, отримаємо:

Приклад 2. Записати систему у вигляді, придатному для застосування методу ітерацій.

Друге рівняння вихідної системи записуємо першим, а третє – третім. Від подвоєного першого рівняння вихідної системи віднімемо друге і записуємо результат другим рівнянням.

Звідси

4.3 Метод Зейделя

Метод Зейделя є модифікацією методу простої ітерації. Він полягає в тому, що для обчислення наближення невідомого, привикористовують вже обчислені ранішенаближення невідомих

Нехай дана зведена СЛАР:

(4.11)

Виберемо початкові наближення коренів

Нехай k-е наближення коренів відоме. Тоді відповідно методу Зейделя будуємонаближення за формулами:

(4.12)

Усі умови збіжності для методу простої ітерації вірні і для методу Зейделя. У матричному вигляді

(4.13)

де C та відповідно нижня та верхня трикутні матриці:

Теорема. Ітераційний процес (4.13) збігається за будь-якого початкового наближення тоді і тільки тоді, коли усі корені рівняннябудуть за модулем менші від одиниці, тобто

Загалом метод Зейделя збігається до розв’язку СЛАР швидше, ніж метод ітерацій, але приводить до більш об’ємних обчислень. Процес Зейделя може бути збіжним навіть у тому випадку, коли процес простої ітерації розбіжний. Можливі випадки, коли процес Зейделя збігається повільніше процесу простої ітерації і навіть розбіжний за Зейделем.

Приклад 1. Методом Зейделя розв'язати систему рівнянь:

Матриця коефіцієнтів домінантна. Запишемо систему у зведеному вигляді:

Ітераційний процес за Зейделем має вид:

У якості початкового наближення візьмемоРезультати наближень за Зейделем:

Точне значення

Приклад 2. Методом Зейделя з точністю знайти для початкового наближенняневідомі СЛАР:

Аналогічно попередньому: ;.

Так як , то похибка не перевищує

Відповідь:

Приклад 3. Методом Зейделя розв’язати систему. Порівняти з методом простої ітерації.

Точний розв’язок за методом ітерації