Методичні вказівки до практичних робіт

З дисципліни "Обчислювальна математика"

Для студентів заочного відділення кі Сум ду

Методи розв'язування нелінійних рівнянь

Якщо алгебраїчне та трансцендентне рівняння досить складні, то корені рідко вдається знайти точно. Окрім того, в деяких випадках коефіцієнти відомі лише приблизно, і тому задача про точне визначення коефіцієнтів рівняння не має сенсу. Тому важливе значення мають способи приблизного знаходження коренів рівняння та оцінка степені їх точності.

Нехай задано неперервну функцію в деякому обмеженому або необмеженому інтервалі. Необхідно знайти всі або деякі корені рівняння

(1)

Корінь рівняння (1) – всяке значення , яке обертаєв нуль (тотожність (1)), тобто, або нуль функції.

Вважаємо, що (1) має тільки ізольовані корені. Ця задача передбачає два етапи розв'язування:

а) відокремлення коренів, тобто виокремлення достатньо ма­лої області, що належить до області допустимих значень функції , у якій є один і тільки один корінь;

б) уточнення наближеного значення кореня до наперед заданої точності.

Для відокремлення дійсних коренів корисно знати кількість коренів, а також нижню і верхню межі їх розташування. Для цього використовується ряд теорем.

1. Теорема Больцано-Коші. Якщо неперервна функція на кінцях відрізка має різні за знаком значення, тобто, то на цьому відрізку рівняння (1) має хоча б один корінь. Якщо, крім цього, існує і зберігає знак, тобто або>0, то корінь єдиний.

2. Алгебраїчний багаточлен

(2)

степеня має рівнокоренів, дійсних або комплексних, при умові, що кожний корінь підраховується таку кількість разів, якій дорівнює його кратність.

3. Якщо - корінь алгебраїчного багаточлена з дійсними коефіцієнтами, тотакож є коренем тієї ж кратності.

Наслідок. Алгебраїчний багаточлен з дійсними коефіцієнтами непарного степеня має хоча б один дійсний корінь.

4. Нехай і, де- коефіцієнти (2),. Тоді модулі всіх коренів рівняння (2) задовольняють нерівності:

.

На практиці застосовують такі методи відокремлення коренів: засобами комп’ютерної графіки, дослідження функцій і побудова графіка функції, застосування методу половинного поділу. Процес відокремлення коренів починається з установлення знаків в граничних точкахіобласті її існування. Потім за допомогою процесу половинного поділу визначають знаки функціїв точках поділу.

За допомогою методу підбирання можна, застосовуючи ком­п'ютер, протабулювати функцію з певним кроком і визначити проміжки, на яких вона змінює знак.

Приклад 1. Відокремити корені рівняння .

Розв’язування. Тут . Відповідно теоремі 2 рівняння має не більше трьох дійсних коренів. Методом підбирання визначимо, що

		-3	-2	-1	0	1	2	3	+
	-	-	+	+	+	-	-	+	+

Отже, рівняння має три корені. Інтервали коренів: (-3;-2); (0;1); (2;3) .

Використовують також графічний спосіб відокремлювання ко­ренів: будують графік функції і наближено визначають області, де графік перетинає вісь абсцис. Інколи зручно рівняння (2.1) записати у вигляді . Значеннями коренів у цьому випадку будуть абсциси точок перетину графіків функційі.

Приклад 2. Відокремити корені рівняння

Розв’язування. Перетворимо його до вигляду і побудуємо гра­фіки функційі . З рис. 2.1 випливає, що рівняння має два корені, і вони належать, відповідно, проміжкам: .

Рис. 1. Графічне відокремлення коренів.

Приклад 3. Відокремити корені рівняння .

Розв'язування. Тут , томупри. Звідси;. Отже, рівняння має тільки два дійсні корені, один з яких є в інтервалі, а інший ― в інтервалі. Уточнюємо інтервали знаходження коренів: (-1;0) і (1;2).

Приклад 4. Відокремити корені рівняння . Тут,. На основі теореми 4 корені знаходяться в інтервалі<< 2. Уточнюємо інтервал коренів:

	-2	-1			1	2
	-	+	+	+	+	+

Для грубої оцінки похибки використовується теорема:

Теорема 5. Нехай - точний, а- приблизний корені рівняння, які знаходяться на одному й тому ж відрізку, причому>0. Тоді виконується оцінка:, де в якостіможна брати.

Приклад 5. Оцінити абсолютну похибку, якщо , а.

>0;

<

Взагалі універсальних методів відокремлення коренів не існує.