5.15 Інтерполяційні диференціальні кубічні сплайни

Нехай за значеннями досить гладкої сіткової функції треба побудувати інтерполяційний глобальний кубічний диференціальний сплайн дефекту, тобто.

Розв’язати цю задачу можна двома способами, які відрізняються вибором порядку похідних в умовах узгодження (5.23). Перший спосіб (найбільш поширений) відповідає вибору других похідних, а другий – перших похідних [2].

Основні етапи реалізації першого способу:

1. Для алгебраїчного многочлена:

(5.25)

який відноситься до і-тої ланки сплайна, вибираються дві диференціальні умови (5.23) з порядком

(5.26)

відповідає вибору інтерполяційного многочлена, - способу побудови сплайна.

Підставивши (5.25) в (5.26), отримаємо СЛАР відносно чотирьох коефіцієнтів . Розв’язуючи її, отримаємо

(5.27)

де - другі похідні функції, які невідомі та їх треба визначити на основі (5.27).

2. Для обчислення невідомих параметрів , які входять у (5.27) запишемо умову (5.24) – рівність перших похідних, якщо записати (5.27) дляі продиференціювати пох. Отримаємо трьох діагональну СЛАР:

. (5.28)

Система (5.28) незамкнена. Не вистачає двох рівнянь. Для її замкнення використовують апроксимацію похідних на кінцях відрізка (граничні умови).

2.1 Умови натурального сплайна: другі похідні на кінцях відрізка – нульові: .

2.2 Для перших двох і останніх двох відрізків застосовують рівність третьої похідної

Звідси отримаємо:

(5.29)

Співвідношення (5.29) замикають (5.27) при нерівномірних інтервалах. Для рівномірних інтервалів (5.29) трансформується так:

(5.30)

3. Методом прогонки визначаються із (5.28) і умов 2.1 або 2.2.

4. Обчислюються коефіцієнти для усіх ланок сплайнаі визначається глобальний сплайн.

5. Отримана сплайн-функція використовується для обчислення необхідних величин.

Основні етапи реалізації другого способу

1. Для (5.27) в (5.26) замість других вводяться перші похідні. Аналогічно попередньому можна отримати:

(5.31)

Дані параметри забезпечують неперервність сплайна та його перших похідних (5.31).

2. Використовуючи умову (5.24) для отримаємо СЛАР трьох діагонального типу:

. (5.32)

Замкнення системи виконується аналогічно п. 2.1 і 2.2. Для другого випадку отримаємо:

(5.33)

де

Співвідношення (5.33) наближають похідні на кінцях відрізка з 3 порядком точності.

Третій-п’ятий етапи аналогічні попередньому.

Зауваження.

1. Існування і єдиність глобальних сплайнів слідує із розглянутих вище алгоритмів побудови загальних формул і єдиності розв’язку трьох діагональної СЛАР через виконання умови діагональної переваги.

2. Збіжність процесу побудови глобальних сплайнів доводиться для неперервних функцій. Процес збіжний, якщо при необмеженому збільшенні числа вузлів сітки відповідна послідовність сплайнів збігається до функції. Доведено, що на рівномірній сітці сплайн-функціїзбігаються доз 4 порядком. Порядок збіжності похідних зменшується нар, де р – порядок похідної , де.

3. Точність обчислення складає, а інтеграласкладає, де.

4. Записуючи із (5.28) ічерезіможна отримати трьох діагональну СЛАР відносно значень функціїпо значенням її похідних, тобто розв’язується задача відновлення за її похідними. Єдиність розв’язку системи забезпечується перевагою діагональних коефіцієнтів СЛАР (5.28) відносно.

5. Аналогічно для (5.32), тобто відновлюючи за похідними І порядку при нерівномірній сітці стійкість процесу досягається при регулярному згущенні сітки зліва направоабо навпаки – справа наліво при розрідженні. Такий алгоритм забезпечує стійкість процесу зворотної прогонки.

Приклад 1. Для сіткової функції знайти інтерполяційну кубічну сплайн-функціюпершим способом:

	0
	1	0,8860254	0,5	0

. Запишемо (5.28) для внутрішніх вузлів.

;

.

На основі формул (5.30) отримаємо ,. Звідси:.

;

Розв’язок цієї системи методом прогонки (або звичайними методами розв’язку СЛАР з двома невідомими) дає

У результаті отримаємо при ,

при ,

при

Приклад 2. Побудувати інтерполяційний кубічний сплайн першим способом:

	-15	-12	-6	0	6	12	15
	1	1	1	1	1	1	0