7.3.3. Пересечение поверхности вращения с плоскостью

общего положения

При пересечении поверхности вращения с плоскостью общего положения ни одна из проекций линии пересечения не вырождается в прямую линию. Задача может быть решена с помощью общего способа: введение вспомогательных секущих плоскостей. Решение упрощается, если применить способ замены плоскостей проекций. Замену нужно произвести так, чтобы заданную плоскость общего положения в новой системе преобразовать в плоскость частного положения и решать задачу пересечения поверхности вращения с проецирующей плоскостью.

Задача: Построить линию пересечения цилиндра, поверхность Ф, с плоскостью общего положения Р заданной прямыми линиями АВ и ВС (рис.7.10).

Решение:

Плоскость РАВ ВС– общего положения, а поверхность цилиндра Ф – горизонтально проецирующая, т.к. ось цилиндра перпендикулярна плоскости Н. В этом случае горизонтальная проекция искомой линии пересечения b_Н совпадает с горизонтальной проекцией цилиндра Ф_Н. Для построения фронтальной проекции линии пересечения удобно выполнить следующую замену плоскостей проекций:

РАВ ВСV₁; проекции искомой линии пересечения на плоскости V₁ совпадает со следом плоскости Р – 1_V1…2_V1.

Для фронтальной проекции линии пересечения необходимо построить характерные точки:

1 и 2 – высшая и низшая точки;

5 и 6 – точки видимости;

и ряд произвольных точек 3, 4, 7, 8.

Рис.7.10. Линия пересечения цилиндра с плоскостью общего

Положения заданной прямыми линиями ав и вс

Для построения фронтальных проекций точек линии пересечения осуществляют обратную замену V₁ V, при этом сохраняется высота всех точек, т. е. =₁.

Для построения фронтальной проекции любой точки, например, точки 1, необходимо использовать условие =₁.

Полученные точки линии пересечения соединяют плавной кривой с учетом видимости. Видима та часть линии пересечения, которая расположена в передней половине поверхности цилиндра, т.е. линия 5_V,2_V,8_V,4_V,6_V, другая часть линии пересечения невидима.

7.4. Пересечение поверхности вращения с прямой линией

Прямая линия и поверхность вращения пересекаются в двух точках. Частным случаем пересечения может быть касание прямой и поверхности.

Для построения точек пересечения прямой линии с любой поверхностью необходимо:

• Через заданную прямую провести вспомогательную секущую плоскость Q.

• Построить линию b пересечения вспомогательной плоскости Q с заданной поверхностью Ф.

• В пересечении линии b и заданной прямой определить искомые точки (обе эти линии b и а лежат в одной плоскости Q, проведенной в качестве вспомогательной через прямую а).

• Определить видимость прямой.

Вспомогательную плоскость следует выбирать так, чтобы при пересечении поверхности этой плоскостью получались простые линии – окружности, прямые.

Чаще в качестве вспомогательных выбирают проецирующие плоскости, но иногда приходится применять и плоскости общего положения, пересекающие поверхность по простым линиям.

Задача: Построить точки пересечения поверхности вращения Ф с прямой АВ (рис.7.11).

Решение:

Задача решается по общей схеме:

Через прямую (АВ) проводится вспомогательная фронтально проецирующая плоскость РV.

Находится линия пересечения вспомогательной плоскости Р с поверхностью Ф – кривая второго порядка b.

Построение линии пересечения смотри в разделе 7.3.

Определяются горизонтальные проекции точек Е_H и F_H пересечения линии (АВ) и поверхности Ф.

По линиям связи находятся точки Е_V и F_V на проекции A_VB_V.

Видимость прямой АВ определяется по отношению к поверхности вращения Ф. Часть АВ, заключенная внутри поверхности вращения (между точками Е и F), не видна на обеих плоскостях проекций. На горизонтальной плоскости проекций точки Е и F видимы, т. к. они находятся над экватором поверхности вращения Ф. На фронтальной плоскости проекций точка Е видима, а F невидима, т.к. Е находится перед главным меридианом поверхности вращения Ф, а F за ним. По видимости точек Е и F определяется видимость АВ.

Задача: Построить точки пересечения цилиндра вращения Ф с прямой АВ (рис.7.12).

Рис. 7.11. Пересечение Рис. 7.12. Пересечение

поверхности вращения цилиндра вращения Ф

Ф с прямой АВ с прямой АВ

Решение:

Решение упрощается, т.к. поверхность цилиндра Ф – горизонтально проецирующая (ось цилиндра перпендикулярна к плоскости Н) и горизонтальная проекция цилиндра – окружность Ф_Н. Следовательно, на горизонтальной плоскости проекций искомые точки определяют непосредственно по линиям связи.

Видимость прямой определяют по отношению к поверхности вращения Ф.

Задача: Построить точки пересечения конуса с прямой АВ (рис.7.13).

Решение:

Через прямую АВ проводится вспомогательная P_V фронтально-проецирующая плоскость перпендикулярная плоскости V.

Рис. 7.13. Пересечения конуса с прямой АВ

Находится линия пересечения вспомогательной плоскости с поверхностью Ф, которая представляет собой окружность радиусом r.

Определяются горизонтальные проекции точек пересечения 1_H и 2_H прямой АВ и поверхности Ф, как точки пересечения проекции А_HВ_H с окружность радиусом r.

По линиям связи находятся точки 1_V и 2_V на проекции A_VB_V.

Видимость прямой АВ определяется по отношению к поверхности вращения Ф. Часть прямой АВ, заключенная внутри поверхности вращения (между точками 1 и 2), не видна на обеих плоскостях проекций. На горизонтальной плоскости проекций точки 1 и 2 видимы, т. к. они находятся над основанием поверхности вращения Ф. На фронтальной плоскости проекций точки 1 и 2 также являются видимыми, так как они располагаются перед фронтальным меридианом.

Задача: Построить, точки пересечения конуса Ф с прямой АВ общего положения (рис.7.14).

Решение:

Для решения задачи в качестве вспомогательной рационально применить плоскость общего положения Р, проходящую через прямую АВ и вершину конуса S. Плоскость зададим двумя пересекающимися прямыми АВ и S1. Точка 1 берется произвольно на прямой АВ.

Рис.7.14. Пересечение конуса Рис.7.15. Пересечение сферы

с прямой АВ общего положения с прямой АВ общего положения

Плоскость, проходящая через вершину конуса, пересечет его по двум образующим (см. п.7.3.2, пл. Р). Эти образующие пересекут основание конуса в точках 2 и 3 (рис.7.14).

Для определения точек 2 и 3 (рис.7.14) строят линию пересечения вспомогательной плоскости Р с горизонтальной плоскостью Н, в которой лежит основание конуса. Это горизонтальный след плоскости Р – ММ₁ (построение ММ₁ смотри в подразделе 2.5).

2_НS_Н3_Н – горизонтальная проекция линии пересечения конуса вращения Ф и вспомогательной плоскости Р.

С_Н и D_Н – горизонтальные проекции точек пересечения прямой АВ и конуса Ф.

Видимость прямой определяют по отношению к поверхности вращения Ф.

Задача: Определить точки пересечения сферы Ф(i,l) и прямой АВ общего положения (рис.7.15).

Решение:

В качестве вспомогательной можно применить горизонтально-проецирующую или фронтально-проецирующую плоскости, проведенные через прямую АВ. Обе эти плоскости пересекают сферу по окружностям, которые проецируются на плоскости проекций в виде эллипсов.

Чтобы получить неискаженную проекцию линии пересечения (окружность), выполняется замена плоскостей проекций, т.е. вводится новая плоскость проекций V₁, которая располагается перпендикулярно плоскости Н и параллельно линии А_HВ_H. На новой плоскости проекций V₁ строится линия пересечения сферы с плоскостью Р, представляющая собой окружность b_V1 радиусом r, и проекция прямой А_V1В_V1. Точки пересечения 1_V1 и 2_V1 прямой А_V1В_V1 с окружностью b_V1 являются искомыми точками пересечения прямой АВ со сферой. Определение проекций точек 1 и 2 на плоскостях Н и V осуществляется по линиям связи до пересечения с соответствующими проекциями линии АВ.

Видимость прямой АВ определяют по расположению ее относительно сферы.