20 Вопрос.

Правила дифференцирования

Операция нахождения производной называется дифференцированием. При выполнении этой операции часто приходится работать с частными, суммами, произведениями функций, а также с «функциями функций», то есть сложными функциями. Исходя из определения производной, можно вывести правила дифференцирования, облегчающие эту работу. Если C — постоянное число и f=f(x), g=g(x) — некоторые дифференцируемые функции, то справедливы следующие правила дифференцирования:

C' = 0

x' = 1

 …(g ≠ 0)

 (g ≠ 0)

Если функция задана параметрический:

, то 

 где  — биномиальные коэффициенты.

Следующие свойства производной служат дополнением к правилам дифференцирования:

если функция дифференцируема на интервале (a,b), то она непрерывна на интервале (a,b). Обратное, вообще говоря, неверно (например, функция y(x) = | x | на [ − 1,1]);

если функция имеет локальный максимум/минимум при значении аргумента, равном x, то f'(x) = 0 (это так называемая лемма Ферма);

производная данной функции единственна, но у разных функций могут быть одинаковые производные.

 

Таблица производных

Функция	Производная

Производная функции по параметру

Определим производную функции по параметру:

.

Если производная в точке существует, вектор-функция называется дифференцируемой в этой точке. Координатными функциями для производной будут.

Свойства производной вектор-функции (всюду предполагается, что производные существуют):

• 

производная суммы есть сумма производных.

• — здесь

дифференцируемая скалярная функция.

• 

дифференцирование скалярного произведения.

• дифференцированиевекторного произведения.

• дифференцированиесмешанного произведения.

21 Вопрос.

Логарифмическим дифференцированием называется метод дифференцирования функций, при котором сначала находится логарифм функции, а затем вычисляется производная от него. Такой прием позволяет эффективно вычислять производные степенных и рациональных функций.  Рассмотрим этот подход более детально. Пусть дана функция y = f(x). Возьмем натуральные логарифмы от обеих частей: Теперь продифференцируем это выражение как сложную функцию, имея ввиду, что y - это функция от x. Отсюда видно, что искомая производная равна

Пример 1

Вычислить производную функции . Решение. Применяем логарифмическое дифференцирование:

Пример 2

Найти производную функции . Решение. Прологарифмируем обе части и затем продифференцируем.

Пример 3

Вычислить производную функции . Решение. Возьмем логарифм от обеих частей:        Теперь продифференцируем левую и правую части:

Пример 4

Продифференцировать . Решение. Сначала возьмем логарифм от обеих частей:        Дифференцируя левую и правую части соотношения, получаем        Следовательно, производная равна