30 Вопрос.
Интегрирование по частям— один изспособовнахожденияинтеграла. Суть метода в следующем: если подынтегральнаяфункцияпредставима в виде произведения двухнепрерывныхигладкихфункций (каждая из которых может быть какэлементарнойфункцией, так икомпозицией), то справедливы следующие формулы
для неопределённого интеграла:
для определённого:
Предполагается,
что нахождение интеграла 
проще,
чем
.
В противном случае применение метода
не оправданно.
Примеры
Иногда этот метод применяется несколько раз:
Данный метод также используется для нахождения интегралов от элементарных функций:
В некоторых случаях интегрирование по частям не даёт прямого ответа:
Таким образом один интеграл выражается через другой:
Решив полученную систему, получаем:
31 Вопрос.
Подведение под знак дифференциала
Данный метод эквивалентен методу замены переменной (см. далее):
32-33 вопрос.
Интегрирование рациональных дробей
Неопределенный интеграл от любой рациональной дробина всяком промежутке, на котором знаменатель дроби не обращается в ноль, существует и выражается через элементарные функции, а именно он является алгебраической суммой суперпозиции рациональных дробей, арктангенсов и рациональных логарифмов.
Сам метод заключается в разложении рациональной дроби на сумму простейших дробей.
Всякую
правильную рациональную дробь 
,
знаменатель которой разложен на множители
можно представить (и притом единственным образом) в виде следующей суммы простейших дробей:
где Aij,αlt,βlt — некоторые действительные коэффициенты, обычно вычисляемые с помощью метода неопределённых коэффициентов.
[править]Примеры
Вычислить: 
Разложим подынтегральное выражение на простейшие дроби:
Сгруппируем слагаемые и приравняем коэффициенты при членах с одинаковыми степенями:
α(x + 3) + β(x − 3) = 2x + 3
(α + β)x + 3α − 3β = 2x + 3
Следовательно 
Тогда 
Теперь легко
вычислить исходный интеграл 
34 Вопрос.
|
Для интегрирования иррациональной
функции, содержащей |
|
Пример 1 |
|
|
|
Найти интеграл Решение. Сделаем подстановку: Вычислим интеграл |
|
Пример 2 |
|
|
|
Вычислить интеграл Решение. Используем следующую подстановку: Тогда интеграл (обозначим его как I ) равен Разделим числитель на знаменатель, выделив правильную рациональную дробь. Находим искомый интеграл: |
|
Пример 3 |
|
|
|
Вычислить интеграл Решение. Запишем интеграл в виде Поскольку наименьшее общее кратное знаменателей дробных степеней равно 3, то сделаем замену: Получаем новый интеграл Сделаем еще одну замену: Находим окончательный ответ: |
|
Пример 4 |
|
|
|
Вычислить интеграл Решение. Запишем интеграл в более удобном виде: Сделаем подстановку: Интеграл через новую переменную uимеет вид Поскольку степень числителя больше степени знаменателя, разделим числитель на знаменатель. Окончательно получаем |
|
Пример 5 |
|
|
|
Вычислить интеграл Решение. Перепишем интеграл в виде Как видно, наименьшее общее кратное знаменателей дробных степеней равно 12. Поэтому используем подстановку Интеграл принимает вид Разделим многочлен в числителе на многочлен в знаменателе, чтобы избавиться от неправильной рациональной дроби. После несложных преобразований получим окончательный ответ. |
|
Пример 6 |
|
|
|
Вычислить интеграл Решение. Сделаем подстановку: Получаем |
|
Пример 7 |
|
|
|
Вычислить интеграл Решение. Используем подстановку Тогда интеграл равен |
используется
подстановка
.
Чтобы
проинтегрировать иррациональную
функцию, содержащую несколько
рациональных степенейx,
применяется подстановка в форме
,
гдеnполагается равным
наименьшему общему кратному знаменателей
всех дробных степеней, входящих в
данную функцию.
Рациональная
функцияxпод знаком корняn-ой
степени, т.е. выражение вида
,
интегрируется с помощью
подстановки
.
Интегрирование
иррациональных функций, содержащих
и
,
рассматривается на странице Тригонометрические
и гиперболические подстановки
.
.
.
.
.
.
.
