Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Казанский кооперативный институт (филиал РУК)

Предмет:

Макроэкономическое планирование и прогнозирование

Файл:

МатАн_ЛинАлг_080100 / Лекции_Математика_3_Интегральное исчисление

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

26.02.2016

Размер:

573.11 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 66

1.4.2. Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования

1.4.2.1. Определение несобственных интегралов

Пусть функция y = f (x) непрерывна на участке [a,¥) оси Ox. Выберем

произвольное значение t Î[a,¥) и рассмотрим определенный интеграл ∫ f (x)dx

на конечном отрезке [a,t].

Несобственным интегралом от функции y = f (x) на промежутке [a,¥)

называется

lim ∫ f (x)dx

t→∞

∞

и обозначается ∫ f (x)dx . Если указанный предел существует, то несобственный

	a
интеграл называется сходящимся, а если не существует, то –							расходящимся.
Итак, по определению
		∞		t
		∫ f (x)dx = lim		∫ f (x)dx .
		a	t→∞	a
		a		a
				y
Геометрический		смысл	несоб-
Геометрический		смысл	несоб-
ственного интеграла.		∞					y = f ( x)
		∞					y = f ( x)
Если	f (x) ³ 0 , то	∫ f (x)dx	–	это
		a
площадь	бесконечной	криволинейной
площадь	бесконечной	криволинейной
трапеции с основанием [a,¥) (рис. 1.4.1). O					a		x
						РИС. 1.4.1

Аналогично определяется несобственный интеграл от функции y = f (x)

на промежутке (−∞,b]

b		b
∫ f (x)dx =	lim	∫ f (x)dx .
−∞	t→−∞	t
−∞		t
	51

Если функция y = f (x) непрерывна на всей числовой оси (−∞,∞) , то

∞

можно определить несобственный интеграл ∫ f (x)dx . Для этого выберем про-

−∞

извольную точку c, а несобственный интеграл по промежутку (−∞,∞) опреде-

лим по формуле

∞	c	∞
∫ f (x)dx =	∫	f (x)dx + ∫ f (x)dx .	(16)
−∞	−∞	c
	∞
Несобственный интеграл	∫ f (x)dx называется сходящимся, если схо-
	−∞

дятся оба интеграла, стоящие в правой части формулы (16), и расходящимся, если расходится хотя бы один из них.

1.4.2.2. Вычисление несобственных интегралов

Пусть F (x) –

первообразная для функции f (x) . Тогда, используя опреде-

ление несобственного интеграла и формулу Ньютона-Лейбница, получим

∞

t = lim

[

]

∫

f (x)dx = lim

f (x)dx = lim F (x)

F (t) − F (a)

t→∞ ∫

t→∞

= lim F (t) − F (a) = F (∞) − F (a) ,

t→∞

где F (∞) = lim F (t) .

→∞

Таким образом, для вычисления несобственного интеграла получена фор-

мула Ньютона-Лейбница

∞

∞a = F (∞) − F (a) .

∫ f (x)dx = F (x)

Аналогично,

∫

f (x)dx = F (x)

= F (b) − F (−∞),

F (−∞) = lim F (t) ,

−∞

t→−∞

−∞

∞

∫ f (x)dx = F (x) ∞−∞ = F (∞) − F (−∞) .

−∞

Примеры.

∞

1. Найти ∫

+ a

Решение.

∞

(arctg ∞ − arctg1) =

1 π

arctg

−

∫ x2

+ a2

a 2

Интеграл сходится.

∞

2. Найти ∫sin xdx .

Решение.

∞

∫ sin xdx = − cos x ∞0 = − cos ∞ + cos 0 .

Интеграл расходится, так как cos ∞ не существует.

∞ dx 1.4.2.3. Исследование сходимости интеграла ∫

a x p

При дальнейшем изучении курса высшей математики часто будут исполь-

∞

зоваться несобственные интегралы вида ∫

. Поэтому проведем исследование

его сходимости в зависимости от величины параметра p.

1. Пусть p =1. Тогда

∞

∫

= ∫

= ln x

∞a = lim ln x − ln a = ∞ интеграл расходится.

a x

x→∞

2. Пусть p ¹1. Тогда

∞ dx

∞

x− p+1

∞

∞− p+1

a− p+1

∫

∫ x− p dx =

−

− p + 1

a x

− p + 1

∞ если p < 1 интеграл расходитстя,

		− p + 1
=	a
−			если p > 1 интеграл сходитстя.

	− p + 1

	∞ dx		сходитстя при	p > 1,
Итак,		−
	∫a x p			p ≤ 1.
		расходитстя при

1.4.3.Несобственные интегралы от неограниченных функций

1.4.3.1.Определение несобственных интегралов

Пусть функция y = f (x) непрерывна на интервале [a,b) оси Ox и пусть

lim f (x) = ∞ . Выберем произвольное число ε > 0 и рассмотрим определенный

x→b

b−ε

интеграл ∫ f (x)dx от ограниченной на отрезке [a,b − ε] функции y = f (x) .

Несобственным интегралом от функции y = f (x) , неограниченной при x → b называется

b−ε

ε→lim0 ∫ f (x)dx .

Если указанный предел существует, то несобственный интеграл называется сходящимся, а если не существует, то – расходящимся.

Итак, по определению

b		b−ε
∫ f (x)dx = lim		∫ f (x)dx .
a	ε→0	a
a		a
Геометрический смысл несобственно-			y
			y

го интеграла.			y = f ( x)
b			y = f ( x)
Если f (x) ³ 0 , то ∫ f (x)dx	– это пло-
a
щадь бесконечной криволинейной		трапе-	O a
щадь бесконечной криволинейной		трапе-		b x
ции (рис. 1.4.2).				b x
ции (рис. 1.4.2).			РИС. 1.4.2
			РИС. 1.4.2
Аналогично определяется несобственный интеграл от функции				y = f (x) ,
непрерывной на промежутке (a,b]	и неограниченной при x → a , то есть при
lim f (x) = ∞ . По определению
x→a

b		b
∫ f (x)dx = lim		∫ f (x)dx .
a	ε→0	a+ε
Если функция y = f (x)	имеет внутри промежутка [a,b] точку бесконеч-
ного разрыва x = c , то
b	c	b
∫ f (x)dx = ∫ f (x)dx + ∫ f (x)dx ,
a	a	c
	b

причем несобственный интеграл ∫ f (x)dx сходится, если сходятся оба интегра-

ла, стоящие в правой части формулы, и расходится, если расходится хотя бы один из них.

1.4.3.2. Вычисление несобственных интегралов

Пусть F (x) – первообразная для функции f (x) , неограниченной при x → b . Тогда, используя определение несобственного интеграла и формулу Ньютона-Лейбница, получим

b−ε

b−ε = lim

[

]

f (x)dx = lim

f (x)dx = lim F (x)

F (b − ε) − F (a)

∫

ε→0 ∫

ε→0

= lim F (b − ε) − F (a) = F (b − 0) − F (a) ,

ε→0

где F (b − 0) = lim F (b − ε) .

ε→0

Аналогично, если F (x) – первообразная для функции f (x) , неограничен-

ной при x → a , то

∫

f (x)dx = F (b) − F (a + 0),

F (a + 0) = lim F (a + ε) .

ε→0

Пример.

Найти ∫

1 − x2

Решение.

10 = arcsin1 − arcsin 0 = π .

∫

= arcsin x

1 − x2

Интеграл сходится.

1.4.3.3. Исследование сходимости интеграла ∫

a (x − b) p

В различных разделах высшей математики и в ее приложениях, наряду с несобственным интегралом, исследованным в п. 1.4.2.3, также часто использу-

ются несобственные интегралы вида ∫ . Поэтому проведем исследова- a (x − b) p

ние сходимости в зависимости от величины параметра p6. 1. Пусть p =1. Тогда

b	dx	p	b	dx	= ln x − b a = ln 0 − ln a − b = ∞
∫	dx	p	= ∫	dx	= ln x − b a = ln 0 − ln a − b = ∞
						b
a	(x − b)		a	x − b
a	(x − b)		a	x − b

интеграл расходится.

2. Пусть p ¹1. Тогда

(x − b)− p+1

0− p+1

(a − b)− p+1

∫

= ∫(x − b)− p dx =

−

(x − b)

− p + 1

если p >1

интеграл расходится,

(a - b)- p + 1

если p <1

интеграл сходится.

- p +

сходится при

p <1,

Итак, ∫a

расходится при

p ³1.

(x - b) p

6 Отметим, что рассматриваемый интеграл является несобственным лишь при p > 0 , однако приводимое ниже исследование сходимости справедливо при любых значениях p.

РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА

а) основная литература

Математика: Учебник для студентов вузов, обучающихся по специальностям экономики и управления (060000) / Б.Т. Кузнецов – 2- е изд., перераб. и доп. – М: ЮНИТИ-ДАНА, 2004. – 719 с. – ( Серия «Высшее профессиональное образование: Экономика и управление»).

Сборник задач по высшей математике для экономистов: Учебное пособие / Под ред. В.И. Ермакова. – ИНФРА-М, 2007. – 575 с. (Серия «Высшее образование»).

б) дополнительная литература

Кремер Н.Ш. и др. Высшая математика для экономистов. – М.: ЮНИТИ,

2004.

Шипачев В.С. Высшая математика: Учеб. для вузов. – 7- е изд., стер. – М.: Высшая школа. – 2005. – 479 с.

Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление. Том 1.

М.: ВШ, 2000.

Красс М.С., Чупрынов Б.П. Математика для экономистов. СПб.: Питер,

2004.

Астровский А.И., Широкова Н.А. Курс лекций по высшей математике.

Ч.1. – Мн.: ИСЗ, 2002.

Ивашев-Мусатов О.С. Начала математического анализа. – М.: Физматлит,

2002.

Ильин В.А., Садовничий В.А., Сендов Бл.Х. Математический анализ. В 2- х частях. – М.: Проспект, 2004.

Кудрявцев Л.Д. Краткий курс математического анализа. В 2-х томах.– М.: Физматлит, 2002.

Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. – М.: Айрис-

пресс, 2005. – 608 с.

Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа. В 2-х частях. – СПб.: Изд-во «Лань», 2002.

Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах: Учеб. пособие для студентов втузов. В двух частях. Часть I. – 4-е изд.испр. и доп. – М.: Высш. шк., 1986. – 304 с., ил.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 66

Соседние файлы в папке МатАн_ЛинАлг_080100

#
26.02.2016483.32 Кб41ЗаданияСР_ЛА_080100.pdf
#
26.02.2016690.03 Кб41ЗаданияСР_МА_080100.pdf
#
26.02.2016869.89 Кб49ЛА_экз_1курс_экономика_заочн.doc
#
26.02.2016454.39 Кб44Лекции_Математика_1_Линейная_алгебра.pdf
#
26.02.2016494.69 Кб51Лекции_Математика_2_Дифференциальное исчисление.pdf
#
26.02.2016573.11 Кб48Лекции_Математика_3_Интегральное исчисление.pdf
#
26.02.20161.52 Mб60МА_экз_1курс_экономика_заочн.doc
#
26.02.2016855.38 Кб43Математика_Словарь терминов.pdf
#
26.02.2016630.28 Кб47ПланыПЗ_ЛА_080100.pdf
#
26.02.2016496.78 Кб56ПланыПЗ_МА_080100.pdf