Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

МатАн_ЛинАлг_080100 / Лекции_Математика_3_Интегральное исчисление

.pdf
Скачиваний:
43
Добавлен:
26.02.2016
Размер:
573.11 Кб
Скачать

1.4.2. Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования

1.4.2.1. Определение несобственных интегралов

Пусть функция y = f (x) непрерывна на участке [a,¥) оси Ox. Выберем

t

произвольное значение t Î[a,¥) и рассмотрим определенный интеграл f (x)dx

a

на конечном отрезке [a,t].

Несобственным интегралом от функции y = f (x) на промежутке [a,¥)

называется

t

lim f (x)dx

t→∞

a

и обозначается f (x)dx . Если указанный предел существует, то несобственный

 

a

 

 

 

 

 

 

интеграл называется сходящимся, а если не существует, то –

расходящимся.

Итак, по определению

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

f (x)dx = lim

f (x)dx .

 

 

 

 

 

a

t→∞

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

Геометрический

смысл

несоб-

 

 

 

 

 

 

ственного интеграла.

 

 

 

 

y = f ( x)

 

 

 

 

 

 

Если

f (x) ³ 0 , то

f (x)dx

это

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

площадь

бесконечной

криволинейной

 

 

 

 

 

 

трапеции с основанием [a,¥) (рис. 1.4.1). O

a

x

 

 

 

 

 

 

РИС. 1.4.1

Аналогично определяется несобственный интеграл от функции y = f (x)

на промежутке (−∞,b]

b

 

b

f (x)dx =

lim

f (x)dx .

−∞

t→−∞

t

 

 

51

Если функция y = f (x) непрерывна на всей числовой оси (−∞,∞) , то

можно определить несобственный интеграл f (x)dx . Для этого выберем про-

−∞

извольную точку c, а несобственный интеграл по промежутку (−∞,∞) опреде-

лим по формуле

c

 

f (x)dx =

f (x)dx + f (x)dx .

(16)

−∞

−∞

c

 

 

 

 

Несобственный интеграл

f (x)dx называется сходящимся, если схо-

 

−∞

 

 

дятся оба интеграла, стоящие в правой части формулы (16), и расходящимся, если расходится хотя бы один из них.

1.4.2.2. Вычисление несобственных интегралов

 

 

Пусть F (x) –

первообразная для функции f (x) . Тогда, используя опреде-

ление несобственного интеграла и формулу Ньютона-Лейбница, получим

 

t

 

 

 

 

 

 

t = lim

[

 

]

 

f (x)dx = lim

f (x)dx = lim F (x)

F (t) − F (a)

=

 

t→∞

 

 

 

t→∞

a

t→∞

 

 

a

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= lim F (t) − F (a) = F (∞) − F (a) ,

 

 

 

 

t→∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где F (∞) = lim F (t) .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

→∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таким образом, для вычисления несобственного интеграла получена фор-

мула Ньютона-Лейбница

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a = F (∞) − F (a) .

 

 

 

 

f (x)dx = F (x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Аналогично,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (x)dx = F (x)

 

b

= F (b) − F (−∞),

F (−∞) = lim F (t) ,

 

 

 

 

 

−∞

 

 

 

 

 

 

t→−∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (x)dx = F (x) −∞ = F (∞) − F (−∞) .

−∞

Примеры.

52

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. Найти

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

2

+ a

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

1

 

 

 

x

 

1

(arctg ∞ − arctg1) =

1 π

 

π

 

π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

arctg

 

 

=

 

 

 

 

 

=

 

.

x2

+ a2

 

a

a

 

4

 

 

 

a

 

 

 

a

 

a 2

 

 

 

4a

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Интеграл сходится.

2. Найти sin xdx .

0

Решение.

sin xdx = − cos x 0 = − cos ∞ + cos 0 .

0

Интеграл расходится, так как cos ∞ не существует.

dx 1.4.2.3. Исследование сходимости интеграла

a x p

При дальнейшем изучении курса высшей математики часто будут исполь-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

зоваться несобственные интегралы вида

 

. Поэтому проведем исследование

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

его сходимости в зависимости от величины параметра p.

1. Пусть p =1. Тогда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

=

dx

= ln x

 

a = lim ln x − ln a = ∞ интеграл расходится.

 

p

 

a

x

a x

 

 

 

x→∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Пусть p ¹1. Тогда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

xp+1

 

p+1

ap+1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

xp dx =

 

 

 

=

 

 

 

 

=

 

 

 

 

p

 

p + 1

 

 

 

 

 

 

 

a x

 

 

 

a

 

a

p + 1

p + 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∞ если p < 1 интеграл расходитстя,

 

 

p + 1

=

a

 

 

если p > 1 интеграл сходитстя.

 

 

 

p + 1

53

 

dx

 

сходитстя при

p > 1,

Итак,

 

 

 

 

a x p

 

p ≤ 1.

 

расходитстя при

1.4.3.Несобственные интегралы от неограниченных функций

1.4.3.1.Определение несобственных интегралов

Пусть функция y = f (x) непрерывна на интервале [a,b) оси Ox и пусть

lim f (x) = ∞ . Выберем произвольное число ε > 0 и рассмотрим определенный

xb

b−ε

интеграл f (x)dx от ограниченной на отрезке [a,b − ε] функции y = f (x) .

a

Несобственным интегралом от функции y = f (x) , неограниченной при x b называется

b−ε

ε→lim0 f (x)dx .

a

Если указанный предел существует, то несобственный интеграл называется сходящимся, а если не существует, то – расходящимся.

Итак, по определению

b

 

b−ε

 

 

 

f (x)dx = lim

f (x)dx .

 

 

 

a

ε→0

a

 

 

 

 

 

 

 

Геометрический смысл несобственно-

y

 

 

 

 

 

 

 

го интеграла.

 

 

y = f ( x)

 

 

b

 

 

 

 

Если f (x) ³ 0 , то f (x)dx

– это пло-

 

 

 

a

 

 

 

 

 

щадь бесконечной криволинейной

трапе-

O a

 

 

b x

ции (рис. 1.4.2).

 

 

 

 

РИС. 1.4.2

 

 

 

 

 

 

 

Аналогично определяется несобственный интеграл от функции

y = f (x) ,

непрерывной на промежутке (a,b]

и неограниченной при x a , то есть при

lim f (x) = ∞ . По определению

 

 

 

 

 

xa

 

 

 

 

 

54

b

 

b

f (x)dx = lim

f (x)dx .

a

ε→0

a

Если функция y = f (x)

имеет внутри промежутка [a,b] точку бесконеч-

ного разрыва x = c , то

 

 

b

c

b

f (x)dx = f (x)dx + f (x)dx ,

a

a

c

 

b

 

причем несобственный интеграл f (x)dx сходится, если сходятся оба интегра-

a

ла, стоящие в правой части формулы, и расходится, если расходится хотя бы один из них.

1.4.3.2. Вычисление несобственных интегралов

Пусть F (x) – первообразная для функции f (x) , неограниченной при x b . Тогда, используя определение несобственного интеграла и формулу Ньютона-Лейбница, получим

b

 

 

 

 

b−ε

 

 

 

 

 

 

 

b−ε = lim

[

 

]

 

 

f (x)dx = lim

f (x)dx = lim F (x)

 

F (b − ε) − F (a)

=

 

 

 

 

 

ε→0

 

 

ε→0

 

 

a

ε→0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= lim F (b − ε) − F (a) = F (b − 0) − F (a) ,

 

 

 

 

 

 

 

ε→0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где F (b − 0) = lim F (b − ε) .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ε→0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Аналогично, если F (x) – первообразная для функции f (x) , неограничен-

ной при x a , то

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (x)dx = F (b) − F (a + 0),

F (a + 0) = lim F (a + ε) .

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ε→0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Найти

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

1 − x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

dx

 

 

 

 

10 = arcsin1 − arcsin 0 = π .

 

 

 

 

 

 

 

 

= arcsin x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

1 − x2

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Интеграл сходится.

55

b

1.4.3.3. Исследование сходимости интеграла

dx

a (x b) p

В различных разделах высшей математики и в ее приложениях, наряду с несобственным интегралом, исследованным в п. 1.4.2.3, также часто использу-

b

dx

ются несобственные интегралы вида . Поэтому проведем исследова- a (x b) p

ние сходимости в зависимости от величины параметра p6. 1. Пусть p =1. Тогда

b

dx

p

b

dx

= ln x b a = ln 0 − ln a b = ∞

=

 

 

 

 

 

 

 

 

b

 

 

a

(x b)

 

a

x b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

интеграл расходится.

2. Пусть p ¹1. Тогда

b

dx

 

 

b

 

 

(x b)p+1

 

b

0p+1

(a b)p+1

 

 

 

 

 

 

 

= (x b)p dx =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

=

(x b)

p

p + 1

 

 

a

 

 

a

 

 

 

a

p + 1

p + 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¥

 

если p >1

интеграл расходится,

 

 

 

(a - b)- p + 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-

 

 

 

 

 

если p <1

 

интеграл сходится.

 

 

 

- p +

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

 

 

dx

сходится при

p <1,

 

 

 

 

Итак, a

 

 

 

 

 

 

 

 

-

расходится при

p ³1.

 

 

 

 

(x - b) p

 

 

 

 

6 Отметим, что рассматриваемый интеграл является несобственным лишь при p > 0 , однако приводимое ниже исследование сходимости справедливо при любых значениях p.

56

РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА

а) основная литература

Математика: Учебник для студентов вузов, обучающихся по специальностям экономики и управления (060000) / Б.Т. Кузнецов – 2- е изд., перераб. и доп. – М: ЮНИТИ-ДАНА, 2004. – 719 с. – ( Серия «Высшее профессиональное образование: Экономика и управление»).

Сборник задач по высшей математике для экономистов: Учебное пособие / Под ред. В.И. Ермакова. – ИНФРА-М, 2007. – 575 с. (Серия «Высшее образование»).

б) дополнительная литература

Кремер Н.Ш. и др. Высшая математика для экономистов. – М.: ЮНИТИ,

2004.

Шипачев В.С. Высшая математика: Учеб. для вузов. – 7- е изд., стер. – М.: Высшая школа. – 2005. – 479 с.

Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление. Том 1.

М.: ВШ, 2000.

Красс М.С., Чупрынов Б.П. Математика для экономистов. СПб.: Питер,

2004.

Астровский А.И., Широкова Н.А. Курс лекций по высшей математике.

Ч.1. – Мн.: ИСЗ, 2002.

Ивашев-Мусатов О.С. Начала математического анализа. – М.: Физматлит,

2002.

Ильин В.А., Садовничий В.А., Сендов Бл.Х. Математический анализ. В 2- х частях. – М.: Проспект, 2004.

Кудрявцев Л.Д. Краткий курс математического анализа. В 2-х томах.– М.: Физматлит, 2002.

Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. – М.: Айрис-

пресс, 2005. – 608 с.

57

Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа. В 2-х частях. – СПб.: Изд-во «Лань», 2002.

Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах: Учеб. пособие для студентов втузов. В двух частях. Часть I. – 4-е изд.испр. и доп. – М.: Высш. шк., 1986. – 304 с., ил.

58