МатАн_ЛинАлг_080100 / Лекции_Математика_3_Интегральное исчисление

Решение.

∫cos3 x × sin2 xdx = ∫cos2 x × sin2 x cos xdx =

под знаком корня.

Для интегрирования таких функций применяются подстановки, приводящие интеграл от иррациональной функции к интегралам от рациональных дробей. Рассмотрим два случая.

1.1.3.3.1. Интеграл вида ∫ R(x, x , 3 x , 4 x ,…)dx

Для вычисления интегралов такого вида найдем наименьшее общее кратное (НОК) n показателей всех корней, присутствующих в интеграле. Тогда каждый из корней будет целой степенью корня n x . Введем затем подстановку t = n x . Тогда x = t n , dx = nt n−1dt . Перейдя под знаком интеграла к новой переменной t, получим интеграл от рациональной функции.

Решение. НОК показателей корней равен 4. Поэтому

t = 4 x , x = t 4 , dx = 4t3 dt ,

21

1.1.3.3.2. Интеграл вида ∫ R(x, ax + b , 3ax + b,…)dx

Метод интегрирования случая из п. 1.1.3.3.1 переносится на данный случай. Если n – НОК всех корней, стоящих под знаком интеграла, то подстановка

t = nax + b сводит рассматриваемый интеграл к интегралу от рациональной функции.

Пример. Найти ∫ x -1dx . x

Решение. Положим t = x − 1 . Тогда x − 1 = t 2 , x = t 2 + 1, dx = 2tdt ,

=2(t − arctg t) + C = 2( x − 1 − arctg x − 1) + C .

1.2.Определенный интеграл

1.2.1.Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла

К понятию определенного интеграла приводят различные задачи физики, механики, геометрии, техники. Рассмотрим три такие задачи.

1.2.1.1. Задача о длине пути

Постановка задачи. Тело движется прямолинейно с переменной скоростью v = v(t) . Требуется найти путь L, пройденный телом с момента времени t = a до момента времени t = b .

Решение задачи. В частном случае, когда скорость v постоянна, из физики известна формула L = v(b − a) .

22

Рассмотрим общий случай, когда скорость является функцией времени t, то есть v = v(t) .

тая, что скорость на нем постоянна и равна значению скорости в точке ξk :

Lk ≈ v(ξk ) tk , k = 1,n .

Тогда для всего пути L получим приближенную формулу

L = L1 + L2 + …+ Ln ≈ v(ξ1 ) t1 + v(ξ2 ) t2 + …+ v(ξn ) tn .

Для записи полученной формулы воспользуемся символом суммы Σ (греческая буква «сигма»), тогда

n

L ≈ ∑v(ξk ) tk .

k =1

Точное значение пути L найдем, если перейдем в полученном равенстве к пределу, увеличивая количество промежутков разбиения и устремляя длину максимального промежутка к нулю

5 Запись k = 1,n означает, что k принимает все целые значения от 1 до n, включительно.

23

1.2.1.2. Задача о массе стержня

Постановка задачи. Дан тонкий материальный стержень, расположенный на отрезке [a,b] оси x (рис. 1.2.2). Найти массу m этого стержня, если из-

вестна его линейная плотность ρ = ρ(x) .

РИС. 1.2.2

Решение задачи. В частном случае, когда ρ = const , имеем m = ρ(b − a) .

Рассмотрим общий случай, когда ρ = ρ(x) .

Разобьем отрезок [a,b] оси Ox произвольным образом на n частей:

[xk −1 , xk ], k = 1,n , длины которых обозначим через xk .

Выберем произвольно точки ξk [xk −1 , xk ], k = 1,n .

Найдем массу mk каждой k-ой части приближенно, считая плотность этой части постоянной и равной ρ(ξk ) :

mk ≈ ρ(ξk ) xk .

Тогда для массы m всего стержня получим приближенную формулу

1.2.1.3. Задача о вычислении площади криволинейной трапеции

Прежде, чем перейти к постановке и решению задачи, дадим определение. Криволинейной трапецией называется плоская фигура, ограниченная осью 0x, вертикальными прямыми x = a , x = b и графиком функции y = f (x)

(рис. 1.2.3).

24

РИС. 1.2.3

Постановка задачи. Найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной осью Ox, вертикальными прямыми x = a , x = b и графиком функции y = f (x) , f (x) ³ 0 , x Î[a,b] .

Решение задачи. В частном случае, когда f (x) = C = const , криволиней-

ная трапеция является прямоугольником с основанием b - a и высотой C, а ее площадь находится по формуле S = C(b - a) .

Больший интерес представляет общий случай, когда функция отлична от постоянной, то есть y = f (x) .

Основание трапеции – отрезок [a,b] оси Ox разобьем произвольным обра-

зом на n частей: [xk −1 , xk ], k = 1,n , длины которых обозначим через xk . Прове-

дем через точки деления прямые, параллельные оси Oy. Тогда криволинейная

Sk ≈ f (ξk ) xk ,

а площадь всей криволинейной трапеции найдется по приближенной формуле

n

S ≈ ∑ f (ξk ) xk .

k =1

25

Перейдя к пределу при стремлении максимальной длины участка разбиения отрезка [a,b] к нулю, получим точную формулу для площади криволиней-

ной трапеции

1.2.2. Определение определенного интеграла

Нами были рассмотрены три различные задачи. Однако если отвлечься от их конкретного содержания, то решение каждой из них было связано с одинаковыми математическими выкладками. Все задачи свелись к вычислению предела суммы определенного вида (см. формулы (6)-(8)), что вызывает необходимость ввести новое понятие, связанное с таким пределом.

Рассмотрим функцию y = f (x) на отрезке x [a,b] и выполним следую-

щие построения.

1. Разобьем отрезок [a,b] произвольным образом на n частей: [xk −1 , xk ], k = 1,n , (здесь x0 = a , xn = b ) и положим xk = xk − xk −1 , k = 1,n .

2.В каждом отрезке [xk −1 , xk ] выберем произвольную точку ξk и найдем значения функции f (ξk ) .

3.Составим сумму

n

∑ f (ξk ) xk .

k =1

Эта сумма называется интегральной суммой для функции f (x) на от-

резке [a,b] . Она зависит от способа разбиения отрезка [a,b] на части и от вы-

бора точек ξk .

4. Если существует конечный предел последовательности интегральных сумм при max xk → 0 , не зависящий ни от способа разбиения отрезка [a,b] на части, ни от выбора точек ξk , то этот предел называется определенным инте-

гралом от функции f (x) на отрезке [a,b] и обозначается

26

Теорема 11. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла

1.2.3.2. Перестановка пределов интегрирования в определенном интегра-

ле

Теорема 12. При перестановке пределов интегрирования определенный интеграл меняет знак

a

Доказательство. При введении определенного интеграла ∫ f (x)dx пред-

b

полагалось, что a < b . Если же a > b , то изменится направление интервала интегрирования. Следовательно, изменится знак разностей xk = xk − xk −1 , инте-

гральной суммы и самого интеграла. Таким образом

b a

∫ f (x)dx = −∫ f (x)dx .

1.2.3.3. Свойство аддитивности определенного интеграла

Теорема 13. Для любых трех чисел a, b и c справедливо равенство

∫ f (x)dx = ∫ f (x)dx + ∫ f (x)dx .

Доказательство.

1. Рассмотрим сначала случай, когда a < c < b .

28

Интегральную сумму на отрезке [a,b] обозначим ∑ f (ξk ) xk . Так как

[a,b]

предел последовательности интегральных сумм не зависит от способа разбиения отрезка [a,b] на части, то выберем такое разбиение, в котором точка c яв-

∫ f (x)dx £ ∫ g(x)dx .

a a

Доказательство. По условию теоремы функция g(x) - f (x) ³ 0 на отрез-

ке [a,b] . Тогда применима теорема 5:

b

b

∫1× dx = b - a .

a

30