МатАн_ЛинАлг_080100 / Лекции_Математика_3_Интегральное исчисление

Чтобы применить эту формулу, подынтегральное выражение f (x)dx

представим в виде произведения udv . Тогда вычисление исходного интеграла сведется к нахождению двух других интегралов: v = ∫ dv и ∫vdu . Поэтому необходимо так выбрать выражения u и dv , чтобы два новых интеграла оказались более простыми, чем исходный.

Примеры.

1. Найти ∫(x + 1)sin xdx .

Решение.

Положим u = x + 1, dv = sin xdx . Тогда du = dx , v = ∫ dv = ∫sin xdx = − cos x

(берем первообразную при C = 0 ). Используя формулу интегрирования по частям, получим

∫(x + 1)sin xdx = (x + 1)(− cos x) − ∫(− cos x)dx =

=−(x + 1) cos x + sin x + C .

2.Найти ∫ln xdx .

Решение.

Положим u = ln x, dv = dx du = dx , v = x . x

Тогда

∫ln xdx = x ln x − ∫ x 1x dx = x ln x − x + C = x(ln x − 1) + C .

Метод интегрирования по частям применяется для интегрирования произведения функций. Например, в интегралах вида

∫ xn sin xdx , ∫ xn cos xdx , ∫ xnex dx , n > 0 – целое,

выбирается u = xn , а в интегралах вида

∫xn ln xdx , ∫ xn arctg xdx , ∫ xn arcsin xdx

вкачестве u берутся функции u = ln x , u = arctg x , u = arcsin x , соответственно

(Почему?).

С помощью интегрирования по частям берутся также интегралы от основных элементарных функций, которых нет в таблице:

11

∫ln xdx , ∫arctg xdx , ∫arcsin xdx .

Формулу интегрирования по частям в одном примере можно применять несколько раз.

вательно,

обычно выбирают t = ψ(x) , а затем выражают x = ϕ(t) ) и по формуле (2) пере-

ходят к новому интегралу по переменной t. Этот интеграл вычисляют, а затем возвращаются к старой переменной x, подставляя в ответ t = ψ(x) .

Пример.

Решение. Положим x = t x = t 2 dx = (t 2 )′ dt = 2tdt .

12

Тогда

=2ln t + 1 + C = 2ln x + 1 + C .

1.1.2.3.Интегрирование простейших рациональных дробей

Простейшими рациональными дробями называются дроби следующих двух типов:

Общий случай (рассмотрим на примере).

13

2x + 3

Найти ∫ x2 + 2x + 5 dx .

Решение.

Вычислим дискриминант знаменателя дроби в подынтегральной функции:

D = p2 − 4q = 4 − 20 = −16 < 0 . Значит, дробь относится к типу II. Для вычисле-

ния интеграла приведем его к виду, рассмотренному выше. Сначала выделим полный квадрат в квадратном трехчлене знаменателя

x2 + 2x + 5 = ( x2 + 2x + 1) + 4 = (x + 1)2 + 4 .

Тогда в исходном интеграле можно сделать замену t = x + 1, x = t − 1, dx = dt . В результате получим

Возвращаясь к старой переменной x, окончательно получим

б) k > 1.

Интегрирование простейших дробей II типа при k > 1 требует сложных вычислений и здесь не рассматривается.

1.1.2.4. Интегрирование рациональных функций

Рациональной функцией или рациональной дробью называется отно-

шение двух многочленов

где m > 0 и n > 0 – целые числа. Если m < n , то дробь называется правильной,

если m ³ n – неправильной.

Если дробь неправильная, то ее можно записать как сумму многочлена (целой части) и правильной дроби

14

Представление (3) называется выделением целой части.

Правильную дробь можно представить в виде суммы простейших дробей двух типов, если воспользоваться следующей теоремой.

R ( x )

Теорема 9. Для правильной дроби ( ) , знаменатель которой имеет вид

Q x

Qn ( x) = ( x − a)k (x2 + px + q)l ,

где p2 − 4q < 0 справедливо следующее разложение в сумму простейших дро-

бей

стейших дробей, соответствующих данному множителю, равно показателю степени, с которым множитель входит в разложение знаменателя на множители.

Это правило остается справедливым и при любом конечном числе линейных и квадратичных множителей, входящих в разложение знаменателя.

Следовательно, интеграл от рациональной функции равен сумме интегралов от многочлена (целой части) и интегралов от простейших дробей, рассмот-

ренных в п. 1.1.2.3.

Таким образом, интегрирование рациональных функций будем проводить по следующей схеме:

1)если дробь неправильная, то выделим целую часть;

2)правильную дробь разложим в сумму простейших дробей;

15

3) проинтегрируем простейшие дроби и целую часть.

Пример. Найти ∫ x4 + 1 dx . x3 − x

Решение. Подынтегральная функция – неправильная дробь. Выделим целую часть. Для этого поделим многочлен, стоящий в числителе, на многочлен знаменателя.

= A(x2 − 1) + Bx(x + 1) + Cx(x − 1) . x(x − 1)(x + 1)

Для отыскания неопределенных коэффициентов A, B, C приравняем числители исходной и полученной дробей

x2 + 1 = A(x2 − 1) + Bx(x + 1) + Cx(x − 1) .

Полученное равенство должно выполняться при любых значениях x. В качестве таких значений удобно брать корни знаменателя:

1.1.3.Интегрирование тригонометрических и иррациональных функций

1.1.3.1.Интегрирование функций, рационально зависящих от тригоно-

метрических функций

Рассмотрим интеграл вида

∫ R(sin x, cos x)dx ,

где R(sin x,cos x) – функция, рационально зависящая от sin x и cos x . Покажем,

что с помощью подстановки t = tg x рассматриваемый интеграл можно свести к

2

интегралу от рациональной функции. Действительно,

Следовательно, подынтегральная функция является рациональной функцией переменной t.

Таким образом, с помощью подстановки t = tg x можно проинтегриро-

2

вать любую функцию вида R(sin x,cos x) . Поэтому данную подстановку (см.

также (5)) называют универсальной тригонометрической подстановкой.

Примеры.

dx

1. Найти ∫ 5 − 3cos x .

17

Решение.

С помощью универсальной тригонометрической подстановки t = tg x

2

На практике универсальная тригонометрическая подстановка приводит к громоздким рациональным дробям, поэтому применяется не часто. В частных случаях лучше использовать другие методы.

1.1.3.2. Интегрирование некоторых частных видов тригонометрических функций

1.1.3.2.1. Интегралы вида ∫ R(sin x) cos xdx , ∫ R(cos x)sin xdx

Подстановка t = sin x , dt = cos xdx дает

18

∫R(sin x) cos xdx = ∫ R(t)dt ,

аподстановка t = cos x , dt = −sin xdx дает

∫R(cos x)sin xdx = −∫ R(t)dt .