Пример 10

Найти ранг системы векторов:

Решение

Составим матрицу

Применим элементарные преобразования:

1. Чтобы иметь дело с целыми, а не дробными числами, поменяем местами первую и четвёртую строки, для того чтобы на месте a₁₁ оказалась единица.

~

2. Чтобы получить нули в первом столбце, будем умножать первую строку на число, и прибавлять к другим строкам.

2.1. Прибавляем первую строку ко второй.

2.2. Умножаем первую строку на (-3) и прибавляем к третьей строке.

2.3. Умножаем первую строку на (-2) и прибавляем к четвёртой строке.

2.4. Умножаем первую строку на 4 и прибавляем к пятой строке.

~

3. Так как элементы второго столбца в третьей, четвёртой и пятой строках делятся на 7, то получать единицу на месте a₂₂не нужно.

3.1. Умножаем вторую строку на 2 и прибавляем к третьей.

3.2. Прибавляем вторую строку к четвёртой.

3.3. Умножаем вторую строку на (-2) и прибавляем к пятой.

~

4. Получим нули на местах a₄₄ иa₄₅.

4.1. Умножаем третью строку на (-1) и прибавляем к четвёртой строке.

4.2. Умножаем третью строку на 2 и прибавляем к пятой строке.

.

Так как пятая строка является нулевой, то все определители пятого порядка для матрицы A₁равны нулю. Составим ненулевой определитель четвёртого порядка из элементов данной матрицы. Для этого возьмём первый, второй, четвёртый и пятый столбцы.

.

Итак, найден ненулевой минор матрицы A₁ ~ A,порядок которого равен 4. Все миноры пятого порядка равны нулю. Следовательно, ранг матрицыАи системы векторов равен 4.

Пример 11

Найти ранг системы векторов

Решение

Составим матрицу

Применим элементарные преобразования:

1. Чтобы иметь дело с целыми, а не дробными числами, поменяем местами первый и третий столбцы.

2. Чтобы получить нули в первом столбце, будем умножать первую строку на число, и прибавлять к другим строкам.

2.1. Умножим первую строку на (-1) и прибавим к третьей.

2.2. Прибавим первую строку к четвёртой.

~

3. Чтобы, получить нули во втором столбце, прибавим вторую строку к третьей, а затем умножим вторую строку на (-1) и прибавим к четвёртой.

~ .

Так как четвёртая строка является нулевой, то все определители четвёртого порядка для матрицы A₁равны нулю. Составим ненулевой определитель третьего порядка из элементов данной матрицы. Для этого возьмём первый, второй и третий столбцы.

.

Следовательно, ранг матрицы А и системы векторов равен 3.

6. Вычисление собственных значений и собственных векторов линейного оператора

Пусть А– линейный оператор, действующий в пространствеR₃. Если существуют числои векторXR₃, X0,такие что, тоназываетсясобственным числом, аX–собственным векторомоператораА.

Если оператору А в некотором базисе соответствует матрица:

,

то чтобы найти собственные числа оператора А, нужно решить характеристическое уравнение:

.

Вычислив определитель, получим уравнение третьего порядка, которое имеет три корня .

Для нахождения собственных векторов, соответствующих собственному числу , i= 1, 2, 3, необходимо решить систему линейных уравнений

При этом необходимо помнить, что собственный вектор .