3. Вычисление определителя матрицы

Для вычисления определителя второго порядка нужно из произведения элементов, стоящих на главной диагонали, вычесть произведение элементов, стоящих на вспомогательной диагонали. Например:

Для вычисления определителя третьего порядка можно воспользоваться правилом треугольников. Определитель третьего порядка равен сумме шести произведений чисел. Произведения чисел, стоящих на главной диагонали и в вершинах треугольников с основаниями параллельными главной диагонали, берутся со знаком "+". Произведения чисел, стоящих на вспомогательной диагонали и в вершинах треугольников с основаниями параллельными вспомогательной диагонали, берутся со знаком "-".

* * * "+" * * * "-"

* * * * * *

* * * * * *

a₁ · b₂ ·c₃ + a₂· b₃ ·c₁+ b₁ ·c₂ ·a₃ - a₃ ·b₂ ·c₁ – a₂ ·b₁ ·c₃– b₃ ·c₂ ·a_1.

Например, вычислим следующий определитель:

13 5

2 4 6 =1·4·8+3·6·0+2·7·5–0·4·5–1·6·7–2·3·8=32+0+

0 7 8 +70–0–42–48=12

Алгебраическим дополнением элемента а, стоящего в к‑ой строке и n-ом столбце, называется число, равное произведению (–1)^к+n на минор этого элемента. Минором элемента а называется определитель, полученный из первоначального, вычёркиванием строки и столбца, в которых стоит элемент а. Например, в определителе

,

алгебраическое дополнение элемента "b" равно

алгебраическое дополнение элемента "g" равно

Определители порядка выше третьего вычисляют по определению

т.е. определитель равен сумме произведений элементов i-ой строки на минор этого элемента и на (-1) в степени (i+j), где j – номер столбца, в котором находится элемент. Аналогично можно разложить определитель и по любому столбцу.

Пример 6

Разложим определитель по элементам 4-го столбца:

2 3 -1 0 -4 -2 3 2 3 -1

∆ = -4 -2 3 1 = 0·(-1)¹⁺⁴ -2 1 2 +1·(-1)²⁺⁴ -2 1 2 +

-2 1 2 1 4 -1 3 4 -1 3

4 -1 3 4

2 3 -1 2 3 -1

+1·(-1)³⁺⁴ 4 -2 3 + 4·(-1)⁴⁺⁴ -4 -2 3 =

4 -1 3 -2 1 2

= 0+(6+24-2+4+4+18)-(-12+36-4-8+36+6)+4·(-8-18+4+4-6+24) =

= 54 - 54 + 0=0.

Можно вычислить этот же определитель, используя разложение, например, по первой строке:

Этот способ трудно применить к вычислению определителей, порядок которых больше четырех. Для вычисления определителей, порядка выше третьего, удобно использовать приведение определителя к треугольному виду.

Чтобы привести определитель к треугольному виду, т.е. получить нули ниже главной диагонали, нужно использовать следующие свойства определителей:

1. Если поменять местами две строки определителя, то значение определителя умножится на (-1).

2. Множитель, общий для всех элементов строки, можно вынести за знак определителя.

3. Если к элементам некоторой строки определителя прибавить соответствующие элементы другой строки, умноженные на одно и то же число, то величина определителя не измениться.

4. Определитель, у которого все элементы ниже главной диагонали равны нулю, равняется произведению элементов, стоящих на главной диагонали.

5. Если все элементы строки равны нулю, то определитель равен нулю.

6. Определитель, имеющий две равные строки, равен нулю.

7. Все свойства справедливые для строк определителя, верны и для столбцов.

Пример 7

Вычислить определитель, рассмотренный в примере 7, приведением к треугольному виду.

=

Умножим первую строку на 2 и прибавим ко 2 ой строке. Первую строку прибавим к третьей. Первую строку умножим на (-2) и прибавим к четвертой строке.

, так как определитель имеет две одинаковые строки.

Пример 8

Вычислить определитель двумя способами:

а) приведением к треугольному виду;

б) разложением по строке или столбцу.

а) вынесем 2 из второй строки,

==

поменяем местами первую и вторую строки, знак определителя изменится,

==

==

на месте (-4) во второй строке попытаемся получить единицу, для этого третью строку умножим на (-1) и прибавим ко второй; чтобы уменьшить числа, третью строку прибавим к четвертой.

= =

Можно уже получать нули во втором столбце третьей и четвертой строки, но мы сначала уменьшим число (-5) по абсолютной величине. Для этого умножим четвертую строку на 2 и прибавим к третьей.

===

= -2·1·1·(-3) = 6 (свойство 4).

б) Разложим определитель по второй строке.

3 2 -3 4 2 -3 4 3 -3 4

2 4 0 4 = 2∙(-1)²⁺¹ -1 3 0 + 4∙(-1)²⁺² 2 3 0 +

2 -1 3 0 3 -1 1 -2 -1 1

-2 3 -1 1

3 2 4 3 2 -3

+ 0∙(-1)²⁺³ 2 -1 0 + 4∙(-1)²⁺⁴ 2 -1 3 =

-2 3 1 -2 3 -1

-2∙(6+4+0-36-3-0) + 4∙(9+0-8+24+6-0) + 4∙(3-12-18+6+4-27) =

= 58 + 124 – 176 = 6.