modul_teor_ver_ua

Методичні вказівки до виконання завдань модуля „Випадкові події та випадкові величини” з курсу „Вища математика” для бакалаврів напрямів підготовки 6.040106; 6.050202; 6.050502; 6.060101; 6.060103 / Укладачі: О.О.

Аршава, С.Г. Ізмайлова, Л.І. Щелкунова. – Харків, ХДТУБА, 2010. – 76 с.

Рецензент А.П. Харченко

Кафедра вищої математики

2

ВСТУП

Дане видання призначено для надання допомоги студентам в організації самостійної роботи на тему “Випадкові події та випадкові величини”.

Результативність самостійної роботи забезпечується системою контролю, яка включає наступні етапи:

виконання індивідуальних домашніх завдань;

виконання контрольної роботи на тему “Випадкові події та випадкові величини”;

виконання та складання підсумкового завдання з теми “Випадкові події та випадкові величини”;

виконання модульної контрольної роботи за всіма темами модуля. Методичні вказівки містять робочу програму модуля, індивідуальні

домашні завдання, варіанти підсумкового завдання і приклад його виконання, а також варіанти тестових завдань, приклад виконання модульного контролю і питання для підготовки до його складання.

1 ПРОГРАМА МОДУЛЯ

1.1 Основні поняття теорії ймовірностей

1 Випробування і події.

2 Класифікація випадкових подій.

3 Класичне означення ймовірності, її властивості.

4Відносна частота. Статистична ймовірність.

5Геометрична ймовірність.

1.2 Теорема додавання ймовірностей

1 Теорема додавання ймовірностей несумісних подій.

2 Повна група подій.

3 Протилежні події.

1.3 Теорема множення ймовірностей

1 Незалежні й залежні події.

2 Теорема множення ймовірностей незалежних подій.

3 Імовірність появи хоча б однієї події.

4 Умовна ймовірність.

5 Теорема множення ймовірностей залежних подій.

1.4 Наслідки теорем додавання та множення

1 Теорема додавання ймовірностей сумісних подій.

3

2 Формула повної імовірності.

3 Імовірність гіпотез. Формули Бейеса.

1.5 Повторення випробувань

1 Формула Бернуллі.

2Локальна теорема Лапласа.

3Інтегральна теорема Лапласа.

4Імовірність відхилення відносної частоти від сталої ймовірності в незалежних випробуваннях.

5Формула Пуассона.

1.6Класифікація випадкових величин. Дискретна випадкова величина

1Означення випадкової величини.

2Дискретні та неперервні випадкові величини.

3Закон розподілу ймовірностей дискретних випадкових величин.

4Біноміальний закон розподілу дискретної випадкової величини.

5Закон Пуассона.

1.7 Числові характеристики дискретних випадкових величин

1 Математичне сподівання дискретної випадкової величини.

2Імовірнісний зміст математичного сподівання.

3Властивості математичного сподівання.

4Математичне сподівання числа появи події в незалежних випробу-

ваннях.

5Дисперсія дискретної випадкової величини. Формула для обчислення дисперсії.

6Властивості дисперсії.

7Дисперсія числа появи події в незалежних випробуваннях.

8Середнє квадратичне відхилення, його властивість.

1.8Інтегральна функція розподілу ймовірностей випадкової величини

1Означення інтегральної функції розподілу.

2Властивості інтегральної функції.

3Графік інтегральної функції.

1.9 Диференціальна функція розподілу ймовірностей неперервної випадкової величини

1 Означення диференціальної функції розподілу.

2 Імовірність попадання неперервної випадкової величини в заданий інтервал.

3 Властивості диференціальної функції.

4

1.10 Закони розподілу та числові характеристики неперервних випадкових величин

1 Закон рівномірного розподілу, його інтегральна та диференціальна функції.

2 Числові характеристики рівномірного розподілу.

3Нормальний розподіл, його параметри, нормальна крива.

4Числові характеристики нормального розподілу.

5Імовірність попадання в заданий інтервал нормальної випадкової вели-

чини.

6Обчислення ймовірності заданого відхилення.

7Правило трьох сигм.

1.11 Закон великих чисел

1 Однаково розподілені взаємно незалежні випадкові величини.

2Нерівність Чебишева.

3Теорема Чебишева, її сутність.

4Теорема Бернулі.

5Поняття збіжності за ймовірністю.

2 ВАРІАНТИ ІНДИВІДУАЛЬНИХ ДОМАШНІХ ЗАВДАНЬ

2.1 Означення ймовірності

Варіант 1

1 В урні знаходиться 30 чорних, 24 червоних, 32 синіх та 14 білих куль. Навмання з урни беруть 1 кулю. Знайти імовірність того, що ця куля буде білою або чорною?

2 Знайти ймовірність того, що точка, яка поставлена навмання в круг радіуса R, буде знаходитись у середині вписаного в круг квадрата?

3 У ящику знаходяться картки з номерами від 1 до 50. Яка ймовірність того, що номер навмання взятої картки не містить цифри чотири?

Варіант 2

1 Учасники жеребкування беруть жетони з номерами від 1 до 100. Знайти ймовірність того, що номер навмання взятого жетона не містить цифри 4?

2 Знайти ймовірність того, що точка, яка поставлена навмання в квадрат зі стороною а, буде знаходитися в колі, вписаному в цей квадрат?

3 Корoбка містить 5 однакових, занумерованих кубіків. Навмaння по одному дістають усі кубіки. Знайти ймовірність того, що номера всіх кубіків з`являться в зростаючій послідовності.

5

Варіант 3

1 Абонент забув дві останні цифри телефонного номера, і пам`ятаючи, що вони різні та утворюють двозначне число менше 40, навмання набрав дві цифри. Знайти ймовірність того, що набрані потрібні цифри.

2 Знайти ймовірність того, що точка, яка поставлена в рівносторонній трикутник зі стороною а, буде в середині кола, яке вписано в цей трикутник?

3 У ящику 20 деталей, серед яких 10 пофарбованих. Навмання беруть 4 деталі. Знайти ймовірність того, що всі деталі будуть пофарбованими?

Варіант 4

1 Серед 300 приладів, які взяті були на перевірку, 20 – несправних. Знайти ймовірність того, що взятий на перевірку прилад буде справним?

2 Знайти ймовірність того, що точка, яка поставлена в коло радіуса R, буде в середині рівностороннього трикутника, вписаного в це коло.

3 Пристрій містить 7 елементів, з яких 4 – зношені. При включенні пристрою випадково включаються 2 елементи. Знайти ймовірність того, що включилися незношені елементи.

Варіант 5

1 Учасники жеребкування беруть жетони з номерами від 1 до 100. Знайти ймовірність того, що номер навмання взятого жетона не містить цифру 3?

2 На площині накреслені два концетричних кола, радіуси яких 5см і 10 см відповідно. Знайти ймовірність того, що точка, яка кинута у велике коло, попаде у кільце, утворене цими колами.

3 У групі 20 студентів, серед яких 8 відмінників. Зп списком навмання відібрані 9 студентів. Знайти ймовірність того, що серед відібраних студентів 5 відмінників.

Варіант 6

1 У процесі запису прізвищ учасників деяких зборів, загальне число яких дорівнює 300, виявилось, що початковою літерою у 10 прізвищ була А, у 6 – Є, у 9 – І, у 12 – О, у 5 – У і у 3 – Ю, а решта прізвищ починалася з приголосних. Знайти ймовірність того, що прізвище учасника цих зборів, якого викликали навмання, починалося з голосної?

2 Коло радіуса R містить мале коло радіуса r. Знайти ймовірність того, що точка, яка навмання кинута у велике коло, попаде також і в мале.

3 У ящику 10 деталей, серед яких 7 пофарбованих. Знайти ймовірність того, що 3 вибрані деталі будуть пофарбовані?

Варіант 7

1 Із цифр 1, 2, 3, 4, 5 вибирають навмання одну цифру. Знайти ймовірність того, що буде вибрана непарна цифра?

2 Знайти ймовірність того, що точка, яка кинута в шар радіуса R попаде в середину куба, вписаного в цю кулю?

6

3 Кинули 2 гральні кістки. Знайти ймовірність того, що в сума очок на випавших гранях дорівнює 5, а добуток – 4.

Варіант 8

1 У ящику 100 деталей, із них 10 бракованих. Навмання беруть 3 деталі. Знайти ймовірність того, що усі взяті деталі браковані.

2 Набираючи номер телефону, абонент забув 3 останні цифри і, памя`таючи, що ці цифри різні, набрав їх навмання. Знайти ймовірність того, що набрані потрібні цифри.

3 Кинули 2 гральні кістки. Знайти ймовірність того, що в сумі випаде 7

очок?

Варіант 9

1 У крамницю надійшла партія взуття одного фасону й розміру, але різного кольору. Паpтія складає 40 пар чорного кольору, 26 – коричньового, 22

– червоного. Знайти ймовірність того, що взята навмання пара взуття буде червоного кольору?

2 Із шести карток з буквами Т, Є, Р, М, О, С вибирають навмання по черзі 4. Знайти ймовірність того, що отримаємо слово «СОРТ».

3 Устрій містить 9 елементів, з яких 3 – зношені. При включенні устрою випадково включаються 4 елементи. Знайти ймовірність того, що включилися незношені елементи.

Варіант 10

1 Збори, на яких присутнні 30 чоловіків, в тому числі 7 жінок, вибирають делегацію з 4 людей. Знайти ймовірність того, що в делегацію увійдуть 3 жінки і 1 чоловік.

2 Кинули 2 гральні кісткі. Знйти ймовірність того, що сума випавших очок дорівнює 8?

3 У квадрат зі стороною а кинули точку. Знайти ймовірність попадання точки в круг, вписаний в цей квадрат?

Варіант 11

1 Усі натуральні числа від 1 до 30 записані на однакових картках і вміщені в урну. Після перемішування карток з урни беруть 1 картку. Знайти ймовірність того, що число на вибраній картці буде кратним 5?

2 У партії з 15 пральних машин 5 виготовлені на заводі А, 10 – на заводі В. Випадково відібрано 5 машин. Знайти ймовірність того, що 2 з них виготовлені на заводі А.

3 Під час пострілу по мішені відносна частота влучень дорівнює 0,75. Знайти число влучень під час 40 пострілів.

Варіант 12

1 Кинули 2 гральні кістки. Знайти ймовірність того, що сума очок на випавших гранях дорівнює 9?

7

2 На станцію прибули 10 вагонів різної продукції, які помічені номерами від 1 до 10. Знайти ймовірність того, що серед 5 відібраних для контролю вагонів, будуть вагони з номерами 2 і 5?

3 Відносна частота нормального сходження насіння дорівнює 0,97. З посіяного насіння зійшло 970 одиниць. Скільки насіння було посіяно?

Варіант 13

1 Навмання вибране натуральне число, яке менше 10. Знайти ймовірність того, що вибрано просте число.

2 Комісія по якості раз у місяць перевіряє якість продуктів в 2 із 30 магазинів, серед яких 2 вам відомі.Знайти ймовірність того, що протягом місяця відомі магазини будуть перевірені?

3 На відрізку натурального ряда від 1 до 20 знайти відносну частоту простих чисел.

Варіант 14

1 Кинули 2 монети. Чому дорівнює ймовірність того, що на обох монетах випадуть цифри?

2 Виготовлена партія з 200 виробів, у якій виявлено 3 бракованих. Навмання вибрано 5 виробів. Знайти ймовірність того, що серед 5 відібраних виробів 1 буде бракований?

3 У куб вписано кулю. Яка ймовірність того, що точка, кинута навмання всередину куба, виявиться в середині кулі?

Варіант 15

1 Яка ймовірність того, що в навмання вибраному двозначному числі будуть однакові цифри?

2 Із 100 вироблених деталей 10 мають дефект. Для перевірки відібрані 5 деталей. Знайти ймовірність того, що серед відібраних деталей 2 будуть з дефектом?

3 Знайти відносну частоту появи надпису при 100 киданнях монети у випадку, коли надпис з’явився 48 разів.

Варіант 16

1 Із букв слова «диференціал» навмання вибирається одна буква. Знайти ймовірність того, що ця буква голосна?

2 Із 20 акціонерних товариств (АТ) 4 є банкрутами. Громадянин придбав по 1 акції з 6 АТ. Знайти ймовірність того, що серед придбаних акцій 2 банкрути.

3 Гральну кістку кидають 90 разів. Шестірка з’явилася 12 разів. Знайти відносну частоту появи шестірки.

Варіант 17

1 Кидають 2 гральні кістки. Знайти ймовірність того, що на гранях обох кісток випаде однакове число очок.

8

2 На склад привезли 50 ящиків комплектуючих виробів, серед них виявилось 4 ящики некомплектних. Навмання взяли 6 ящиків. Знайти ймовірність того, що серед взятих ящиків 1 буде некомплектний.

3 Знайти відносну частоту появи простих чисел на відрізку натурального ряду від 41 до 50.

Варіант 18

1 У книзі 300 сторінок. Знайти ймовірність того, що навмання відкрита сторінка буде мати номер, кратний 5?

2 На 6 картках написані букви І, В, А, К, Х, Р. Картки навмання розкладають в ряд. Чому дорівнює ймовірність, що отримане слово – ХАРКІВ.

центри співпадають. Навмання кидають точку. Знайти ймовірність того, що точка попаде в малий еліпс? (Площа еліпса дорівнює ав).

Варіант 19

1 У партії з 10 деталей 7 – стандартних. Знайти ймовірність того, що серед 6 взятих навмання деталей 4 – стандартних.

2 У партії з 20 холодильників 8 вироблені на заводі А, 12 – на заводі В. Випадково відібрано 6 холодильників. Знайти ймовірність того, що 2 з них вироблені на заводі А.

3 Під час пострілу по мішені відносна частота влучень дорівнює 0,8. Знайти число влучень при 60 пострілах.

Варіант 20

1 Серед 25 студентів групи 10 дівчат. Розігруються 5 білетів. Знайти ймовірність того, що серед володарів білетів будуть 2 дівчини.

2 У партії зі 100 виробів 5 – нестандартних. Навмання вибирають 6 виробів. Знайти ймовірність того, що серед них не буде нестандартних.

3 Знайти відносну частоту появи простих чисел на відрізку натурального ряду від 51 до 70.

Варіант 21

1 В ящику 15 куль, з яких 5 блакитних і 10 червоних. Навмання вибирають 6 куль. Знайти ймовірність того, що серед вибраних куль 2 блакитні.

2 Кидають 2 гральні кістки. Знайти ймовірність того, що сума випавших очок дорівнює 8, а різниця 4.

3 На полиці 25 підручників, з яких 5 з теорії ймовірностей. Студент навмання бере 2 підручники. Знайти ймовірність того, що взяті підручники з теорії ймовірностей.

9

Варіант 22

1 Із 50 виготовлених деталей 10 мають дефект. Для перевірки відібрані 5 деталей. Яка ймовірність того, що серед відібраних деталей 2 будуть бракованими?

2 У ящику 4 блакитних і 5 червоних куль. Навмання беруть 2 кулі. Знайти ймовірність того, що ці кулі різного кольору.

3 Під час пострілу відносна частота влучень дорівнює 0,65. Знайти число влучень під час 70 пострілів.

Варіант 23

1 У партії з 200 виробів виявлено 3 з дефектом. Навмання вибрано 5 виробів. Знайти ймовірність того, що серед вибраних виробів не має бракованих.

2 Кидають 2 гральні кістки. Знайти ймовірність того, що сума випавших очок дорівнює 8, а різниця – 2.

3 У коло радіуса R вписаний квадрат. Яка ймовірність того, що точка, кинута навмання в коло, попаде в квадрат?

Варіант 24

1 У книзі 200 сторінок. Чому дорівнює ймовірність того, що навмання відкрита сторінка буде мати номер, кратний 3?

2 Із 30 акціонерних товариств (АТ) 6 є банкрутами. Чому дорівнює ймовірність того, що серед 8 куплених акцій 3 будуть банкрутами?

3 Скількома способами можна вибрать 3 особи на 3 різні посади з 10 кандидатів?

Варіант 25

1 У партії з 25 телевізорів 10 виготовлені на заводі А, а 15 – на заводі В. Знайти ймовірність того, що серед випадково відібраних 6 телевізорів 2 виготовлені заводом В.

2 Відносна частота сходження насіння дорівнює 0,95. Зійшло 950 зерен. Скільки насіння було посіяно?

3 У ящику 15 куль, з яких 5 блакитних і 10 червоних. Навмання вибирають 6 куль. Знайти ймовірність того, що серед вибраних куль 2 червоні.

Варіант 26

1 У коробці 5 однакових виробів, причому 3 з них пофарбовані. Знайти ймовірність того, серед 2 отриманих виробів 1 буде пофарбований.

2 У коло радіуса R = 5 см вписаний квадрат. Знайти ймовірність того, що точка кинута в коло, попаде в квадрат.

3 Знайти відносну частоту появи простих чисел на відріку натурального ряду від 81 до 100.

10