modul_teor_ver_ua
.pdf
Варіант 30
1 Дискретна випадкова величина Х має тільки два можливих значення: х1 і х2, причому х1 < х2. Імовірність того, що Х приймає значення х1 дорівнює 0,9. Знайти закон розподілу величини Х, якщо математичне сподівання М(Х) = 1,3, а дисперсія D(Х) = 0,81.
2 Випадкова величина Х розподілена нормально з математичним сподіванням а=18 і середнім квадратичним відхиленням = 9. Знайти інтервал, у який з імовірностю 0,9973 попаде Х в результаті випробування.
3 Електростанція обслуговує мережу в 18000 ламп, імовірність включення кожної дорівнює 0,9. Чому дорівнює ймовірність того, що число включених ламп в мережу відрізняється від свого математичного сподівання за абсолютною величиною не більше, ніж на 200 ламп?
4.ЗРАЗОК ВИКОНАННЯ ПІДСУМКОВОГО ЗАВДАННЯ
4.1.1В урні знаходяться 15 червоних, 10 блакитних і 5 зелених куль. Навмання дістають 6 куль. Знайти ймовірність того, що витягнули 1 зелену, 2 блакитних, 3 червоних кулі (подія А).
Розв’язання. В урні всього 30 куль. При даному випробуванні число всіх
C6 .
рівноможливих елементарних вихідів буде 30 Підрахуємо число елементарних виходів, які сприяють появі події А. Одну зелену кулю можна
вибрати з 5 |
C1 |
способами, |
2 блакитних кулі з 10 можна вибрати |
C2 |
||||||||
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
способами, 3 червоних з 15 C3 |
– способами. Отже ( в силу правила добутку в |
|||||||||||
|
|
|
|
|
15 |
які сприяють події А, буде m C1 |
C2 |
C3 . |
||||
комбінаториці), |
число виходів, |
|||||||||||
Шукану ймовірність знаходимо за формулою |
5 |
10 |
15 |
|||||||||
|
|
|
||||||||||
|
m |
|
C1 |
C2 |
C3 |
5 10 9 15 14 13 1 2 3 4 5 6 |
|
|
|
|||
P(A) |
|
|
5 |
10 |
15 |
|
|
|
|
0,172. |
||
n |
|
C306 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
1 1 2 1 2 3 30 29 28 27 26 25 |
|
|
|
|||||
4.1.2 Два автомати виготовляють однакові детали, які надходять на загальний конвеєр. Продуктивність першого автомата вдвічі більше другого. Перший автомат виготовляє 70% деталей відмінної якості, другий – 85%. Навмання взта з конвеєра деталь виявилась відмінної
якості. Знайти ймовірність того, що ця деталь виготовлена першим автоматом.
Розв’язання. Позначимо: подія А – деталь відмінної якості. Можна зробити два припущення: В1 – деталь виготовлена першим автоматом, причому за умовою задачі, перший автомат виготовляє вдвічі більше деталей, ніж
другий, тому P(B1) 2; B2 – деталь виготовлена другим автоматом, причому
3
1 P(B2) 3.
61
Умовна ймовірність того, що деталь відмінної якості виготовлена першим
автоматомPB |
(A) 0,7. |
Для |
другого |
автомату |
ця |
ймовірність |
1 |
|
|
|
|
|
|
дорівнюєPB2 (A) 0,85. Імовірність того, що взята навмання деталь виявиться відмінної якості, обчислюється за формулою повної ймовірності:
P(A) P(B ) P |
(A) P(B |
) P |
|
(A) |
2 |
0,7 |
1 |
|
0,85 0,75. |
|
|
|
|
||||||||
1 |
B |
2 |
B |
2 |
3 |
3 |
|
|||
|
1 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|||||
Шукана ймовірність того, що взята деталь відмінної якості, виготовлена першим автоматом, за формулою Бейєса дорівнює:
PA(B1) P(B1) PB1 (A) 23 0,7 0,62. P(A) 0,75
4.1.3 Для нормальної роботи автобази на лінії повинні бути не менше 8 машин, а їх всього 10. Імовірність невиходу на лінію кожної автомашини дорівнює 0,1. Знайти ймовірність нормальної роботи автобази на найближчий день.
Розв’язання. Автобаза буде працювати нормально (подія D), якщо на лінію вийдуть або 8 (подія А), або 9 (подія В), або 10 (подія С) автомашин. За теоремою додавання ймовірностей
Р(D) = Р(А) + Р(В) + Р(С) = Р10(8) + Р10(9) + Р10(10).
Кожний доданок знайдемо за формулою Бернуллі.
Оскільки ймовірність невиходу автомашини на лінію дорівнює 0,1, то ймовірність виходу автомашини на лінію буде рівна 0,9, оскільки р=0,9, q=0,1. Із умови задачі n = 10, k = 8, 9, 10. Отже,Pn(k) Cnk pk qn k.
P(D) C108 (0,9)8 (0,1)2 C109 (0,9)9 0,1 C1010 (0,9)10 (0,1)00,1937 0,3874 0,3487 0,9298.
4.1.4 Імовірність появи події в кожному з 900 незалежних випробувань дорівнює 0,5. Знайти ймовірність того, що відносна частота появи події відхилиться від її ймовірності за абсолютною величиною не більше , ніж на 0,02.
Розв’язання. За умовою задачі n = 900, р = 0,5, q = 0,5, = 0,02. Треба
знайти ймовірність |
|
|
|
||||
|
|
m |
|
|
|
||
|
|
|
|||||
P |
|
|
|
0,5 |
0,02 |
. |
|
900 |
|||||||
|
|
|
|
|
|||
Скористаємося формулою
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
p |
|
|
2 |
|
|
||||||||
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
||||||
Маємо
n pq .
62
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
900 |
|
|
|
P |
|
|
0,5 |
|
|
|
0,02 |
|
|
|
2 (1,2). |
||
|
|
|
|
|
|||||||||
|
900 |
|
0,02 2 |
0,5 0,5 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||||||||
Із доданка Б знаходимо |
(1,2) 0,3849. Отже, шукана ймовірність |
||||||||||||
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
P |
|
|
0,5 |
0,02 2 0,3849 0,7698. |
|
|
|
900 |
|||||
|
|
|
|
|
|
||
4.2.1 Дискретна випадкова величина Х має тільки два можливих |
|||||||
значення: |
х1 |
і х2, |
причому х1 < |
х2. Імовірність того, що Х прийме |
|||
значення |
х1 |
дорівнює 0,45. Знайти закон розподілу величини Х, якщо |
|||||
математичне сподівання М(Х) = 3,1 і дисперсія D(Х) = 0,99. |
|||||||
Розв`язання. Сума |
ймовірностей |
усіх можливих значень дискретної |
|||||
випадкової величини дорівнює 1, тому ймовірність того, що Х прийме значення х2, дорівнює 1 – 0,45 = 0,55. Запишемо закон розподілу Х:
Х х1 х2
Р0,45 0,55
Для знаходження х1 і х2 треба скласти два рівняння, які зв`язують ці числа. З цією метою виражаємо відомі М(Х) і D(Х) через х1 і х2. Знайдемо
М(Х):М(Х) = 0,45х1 + 0,55х2. За умовою М(Х) = 3,1, отже, 0,45х1 + 0,55х2 = 3,1.
Одне рівняння, яке звязує х1 і х2 отримали. Для того, щоб отримати друге
рівняння, виразимо відому дисперсію через х1 і х2. Напишемо закон розподілу
Х2:
Х2 |
x2 |
x2 |
|
|
|
Р |
1 |
2 |
|
|
|
0,45 |
0,55 |
|
|
|
|
Знайдемо дисперсію: D(X) = М(Х2) – М2(Х ) = 0,45x2 |
0,55x2 |
3,12. |
|||
Підставляючи D(X) = 0,99, |
|
1 |
|
2 |
|
після |
елементарних перетворень |
отримаємо |
|||
0,45x12 0,55x22 10,6. Таким чином, отримали систему двох рівнянь з двома невідомими:
0,45x1 0,55x2 3,1,0,45x12 0,55x22 10,6.
Помноживши обидві частини кожного рівняння системи на 20, отримаємо
9x1 11x2 62,9x12 11x22 212.
Із першого рівняння знайдемо х1 і підставимо у друге рівняння:
|
|
62 11x |
2 |
|
62 11x |
|
|
2 |
|
|
x |
|
|
; |
9 |
|
2 |
|
11x2 |
212. |
|
|
|
|
|
|||||||
1 |
9 |
|
|
|
9 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Після перетворень розв`язуємо квадратне рівняння:
3844 1364x2 121x22 99x22 1908 0, 55x22 341x2 484 0,
63
x |
2 |
|
|
|
341 |
|
|
116281 106480 |
|
|
341 |
9801 |
|
341 99 |
. |
|||||||||||||||||||||
|
1,2 |
|
|
|
|
|
|
110 |
|
|
|
|
|
|
|
|
110 |
|
|
110 |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
x |
2 |
|
|
341 99 |
|
440 |
4; |
x |
2 |
|
|
|
341 99 |
|
242 |
2,2; |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
110 |
|
|
|
110 |
|
|
|
|
|
|
2 |
110 |
|
110 |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
62 11 4 |
|
62 44 |
|
18 |
2; |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
62 11 2,2 |
|
62 24,2 |
|
37,8 |
4,2. |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
За умовою задачі |
|
х1 |
|
< х2, |
тому задачі задовольняє перший розвязок: |
|||||||||||||||||||||||||||||||
х1 = 2, х2 = 4. Підставимо ці значення в закон розподілу:
Х2 4
Р0,45 0,55.
4.2.2Випадкова величина Х розподілена нормально з математичним
сподіванням а=20 і середнім квадратичним відхиленням =3. Знайти інтервал, у який з імовірностю 0,9973 попаде величина Х в результаті випробування.
Розв`язання. Якщо ймовірність відхилення випадкової величини Х від свого математичного сподівання а дорівнює 0,9973, то відхилення менше потрійного середнього квадратичного відхилення. Тому інтервал, в який попаде ця величина, визначається нерівністю: X a 3 ,
3 X a 3 , або a 3 X a 3 ,
20-3•3 < X < 20+3•3.
Отже, шуканий інтервал дорівнює (11, 29), або 11 < X < 29.
4.2.3 Імовірність появи події А в кожному випробуванні дорівнює 0,55. Застосовуючи нерівність Чебишева, оцінити ймовірність того, що число Х появи події А буде заключено в межах від 40 до 70, якщо буде проведено 100 незалежних випробувань.
Розв`язання. Знайдемо математичне сподівання і дисперсію дискретної випадкової величини Х – числа появи події в 100 незалежних випробуваннях:
M(X) = 100•0,55 = 55; D(X) = npq = 100•0,55•0,45 = 24,75. Mаксимальнa різниця між заданим числом появи події і математичним
сподіванням М(Х) = 55:
70 55 15.
Скористаємося нерівністю Чебишева:
P |
|
X M(X) |
|
1 |
D(X |
) |
. |
|
|
||||||
|
|
2 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Підставляючи M(X) = 55, D(X) = 24,75, 15, отримаємо
P X 55 15 1 24,75 1 0,11 0,89. 152
64
5 ВАРІАНТ МОДУЛЬНОГО КОНТРОЛЮ ТА ПРИКЛАД ЙОГО ВИКОНАННЯ
Варіант МК
Тестова частина
1 Яка подія називається достовірною?
А Подія, яка може наступати, або не наступати.
Б Подія, яка обов’язково наступає при виконанні визначеної сукупності
умов.
В Подія, яка не наступає при виконанні визначеної сукупності умов. Г Подія, появу якої не можна спрогнозувати.
2Подія А – випадкова. Які значення приймає її ймовірність Р(А)?
А Р(А) = 0. Б Р(А)>1.
В 0 Р(А) 1. Г Р(А) = 1.
3Події А і В – сумісні, їх імовірності: Р(А), Р(В). Чому дорівнює ймовірність появи хоча б однієї події Р(А+В)?
А Р(А+В) = Р(А) + Р(В).
Б Р(А+В) = Р(А) + Р(В) – Р(АВ). В Р(А+В) = Р(А) • Р(В).
Г Р(А + В) = РВ(А) • Р(А).
4 Імовірність влучення в мішень під час одного пострілу дорівнює 0,8. За якою формулою обчислюється ймовірність того, що при 900 пострілах в мішень буде влучено 125 разів?
А Формула Бернуллі: |
P (k) Ck pkqn k. |
||||||||
|
n |
n |
|
|
k |
np |
|
|
|
Б Формула Лапласа: |
P (k) |
|
1 |
|
(x),x |
|
. |
||
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
||||||||
n |
npq |
|
|
|
npq |
||||
|
|
|
|
|
|
||||
В Формула Пуассона: |
P (k) |
k e |
, np. |
|||
|
||||||
n |
k! |
|
||||
|
|
m |
|
|
|
|
Г |
P(A) |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
5 |
|
n |
|
|
|
|
Як знаходиться ймовірність попадання випадкової величини в заданий |
||||||
інтервал (a; b) за допомогою функції розподілу?
АP(a X b) F(b) F(a).
b
БP(a X b) f (x)dx.
a
65
ВP(a X b) f (b) f (a).
6 Для яких випадкових величин застосовується інтегральна функція розподілу?
А Дискретних. Б Неперервних.
В Дискретних і неперервних. Г Тільки неперервних.
Частина друга
1 Теорема про ймовірність появи хоча б однієї події та її частинний випадок.
2 Прядильниця обслуговує 1000 веретен. Імовірність обривання нитки на одному веретені протягом однієї хвилини дорівнює 0,002. Знайти ймовірність того, що протягом однієї хвилини обривання виникне більше, ніж на трьох веретенах.
3 Випадкова величина Х задана щільністю розподілу:
|
0, |
x 0, |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
f (x) |
|
(x 0,5) , |
0 x 3, |
|
|||
6 |
x 3. |
||
|
0, |
||
|
|
|
|
Знайти математичне сподівання випадкової величини Х.
4 Математичне сподівання швидкості повітря на даній висоті дорівнює 36 км/год. Середнє квадратичне відхилення дорівнює 6 км\год. Які швидкості повітря на цій висоті можна очікувати з імовірністю не меншою за 0.9?
Розв`язання
Тестова частина
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
|
|
|
|
|
|
Б |
В |
Б |
Б |
А |
В |
|
|
|
|
|
|
Частина друга
1 Теорема про ймовірність появи хоча б однієї події та її частинний випадок.
Теорема. Імовірність появи хоча б однієї з подій A1,A2,..., An , незалежних у сукупності, дорівнює різниці між одиницею та добутком імовірностей протилежних подій A1,A2,...,An :
P(A) 1 q1 q2 ... qn .
66
Доведення: Позначимо через А подію, що полягає в появі хоча б однієї з подій A1,A2,..., An . Події А таь A1 A2...An (жодна з подій не мала місце) протилежні, отже, сума їх імовірностей дорінює одиниці:
P(A) P(A1 A2...An) 1.
Із цього випливає, використовуючи теорему множення, що
P(A) 1 P(A1 A2...An) 1 P(A1)P(A2)...P(An), абоP(A) 1 q1 q2 ... qn .
Частинний випадок. Якщо події A1,A2,..., An мають однакову ймовірність, яка дорівнює р, тоді ймовірність появи хоча б однієї з цих подій
P(A) 1 qn .
2 Прядильниця обслуговує 1000 веретен. Імовірність обривання нитки на одному веретені протягом однієї хвилини дорівнює 0,002. Знайти ймовірність того, що протягом однієї хвилини обривання виникне більше, ніж на трьох веретенах.
Розв`язання. Відповідно до умови задачі маємо n = 1000, p = 0,002,
np 1000 0,002 2, k > 3.
Pn(k 3) 1 Pn(k 3) 1 Pn(0) Pn(1) Pn(2) Pn(3).
Оскільки n велике, а p мале, то застосовуємо формулу Пуассона:
|
P (k) |
|
ke |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
k! . |
|
|
|
|||||||||
Отже, |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
20 |
|
|
|
21 |
|
|
22 |
|
|
23 |
|
||
P (k 3) 1 e 2 |
e 2 |
e 2 |
|
e 2 |
|
||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||
n |
0! |
|
1! |
2! |
|
3! |
|
||||||||
|
|
|
|
||||||||||||
1 0,1353 0,2707 0,2707 0,1805 0,1428. |
|||||||||||||||
3 Випадкова величина Х задана щільністю розподілу: |
|
||||||||||||||
|
0, |
|
|
|
|
|
x 0, |
|
|
|
|||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
f (x) |
|
(x 0,5) |
, |
|
0 x 3, |
|
|||||||||
|
|
|
|||||||||||||
6 |
|
|
|
|
|
x 3. |
|
|
|
||||||
|
0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Знайти математичне сподівання випадкової величини Х.
Розв`язання. Скористаємося формулою для знаходження математичного сподівання:
b |
3 |
1 |
|
1 |
3 |
2 |
|
1 x3 |
x2 3 |
|
1 |
|
9 |
|
15 |
|
|||||||
M(X) xf (x)dx x |
|
(x 0,5)dx |
|
(x |
|
0,5x)dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
. |
|
6 |
6 |
|
6 |
3 |
4 |
6 |
4 |
8 |
|||||||||||||||
a |
0 |
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
67
4 Математичне сподівання швидкості повітря на даній висоті дорівнює 36 км/год. Середнє квадратичне відхилення дорівнює 6 км\год. Які швидкості повітря на цій висоті можна очікувати з імовірністю не меншою за 0.9?
Розв`язання. Скористаємося нерівністю Чебишева:
P |
|
X M (X ) |
|
1 |
D(X |
) |
. |
|
|
||||||
|
|
2 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Швидкість повітря буде визначати нерівність
X M(X) .
Після перетворень отримаємо інтервал швидкості повітря:
M(X) X M(X) .
Невідоме значення відхилення знайдемо, підставляючи в нерівність
Чебишева P |
|
X M(X) |
|
0,9; 6: |
|
||||||
|
|
|
|||||||||
|
|
0,9 1 |
36 |
; |
36 |
|
0,1;0,1 2 |
36; 2 |
360; 19. |
||
|
|
2 |
2 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Таким чином, шуканий інтервал швидкості повітря дорівнює
36 19 X 36 19,
17 X 55
6 ПЕРЕЛІК ТЕСТОВИХ ЗАДАЧ
1.1Подія А - достовірна. Яке значення може приймати її ймовірність
Р(А) ?
АР(А)<1. Б Р(А)=1. В Р(А)>1. Г Р(А)=0.
1.2Чому дорівнює ймовірність події (А+В), якщо події А і В сумісні й їх імовірності дорівнюють відповідно Р(А) і Р(В)?
АР(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ). Б Р(А+В)=Р(А)+Р(В).
В Р(А+В)=Р(А)+Р(В)+Р(АВ). Г Р(А+В)=Р(А)-Р(В)+Р(АВ).
1.3 Яка величина називається випадковою?
А Величина випадково приймає своє значення. Б Величина, яка приймає своє значення.
В Величина, яка в результаті випробування прийме одне і тільки одне можливе значення невідоме і залежне від випадкових причин.
Г Величина, яка приймає постійне значення.
1.4 Чому дорівнює сума ймовірностей подій A1,A2,..., An , які утворюють
повну групу? |
|
|
|
|
|
А 0. Б 1. В 2. |
Г >0. |
|
|
|
|
2.1 Яка з наведенних формул визначає формулу повної ймовірності? |
|||||
|
n |
|
m |
|
|
А P(A) 1 q1 q2 |
... qn . Б P(A) P(Bi)PBi |
(A). В P(A) |
. Г P(A) 1. |
||
n |
|||||
|
i 1 |
|
|
||
|
68 |
|
|
|
|
2.2 Якою формулою визначається ймовірність появи хоа б однієї з подій A1,A2,..., An , незалежних у сукупності?
n n
А P(A) 1 q1 q2 ... qn,qi 1 pi. Б P(A) P(Ai). В P(A) P(Ai). Г P(A) 1.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i 1 |
|
|
|
|
i 1 |
|
|
|
|
||||||
2.3 Якою формулою визначається нерівність Чебишева? |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
А P |
|
X M (X ) |
|
1 |
D(X |
) |
. |
Б P |
|
|
X M (X ) |
|
1 |
D(X |
) |
. |
|||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В P |
|
X M (X ) |
|
1 |
D(X |
) |
. |
Г P |
|
X M (X ) |
|
|
D(X |
) |
. |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.4 Випробування повторюється |
1000 |
разів. У кожному випробуванні |
|||||||||||||||||||||||||||
подія А з’являється з імовірністю 0,001. За якою формулою обчислюється ймовірність того, що подія А з’явиться 3 рази?
А Pn (k) Cnk pk qn k . |
Б Pn |
(k) |
|
1 |
|
(x),x |
k |
np |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|||||
npq |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
npq |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ke |
|
|
|
В |
P (k ,k |
2 |
) (x ) (x ). |
P |
(k) |
|
, np. |
|
|||||||||||
|
|
||||||||||||||||||
|
n |
1 |
|
|
|
|
|
2 |
1 |
Г n |
|
k! |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3.1 Чому дорівнює математичне сподівання нормально розподіленої |
|||||||||||||||||||
випадкової |
|
|
величини, яка |
задана |
диференціальною функцією |
розподілу |
|||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
(x 1)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
f (x) |
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
50 |
? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
5 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
А 2. |
Б 1. |
В 3. |
Г 5. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
3.2 Чому дорівнює дисперсія нормально розподіленої випадкової |
|||||||||||||||||||
величини, |
|
|
|
яка |
|
задана |
диференціальною |
функцією |
розподілу |
||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
(x 1)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
f (x) |
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
50 |
? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
5 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
А 2. |
Б 1. |
В 3. |
Г 25. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
3.3 Чому дорівнює математичне сподівання рівномірно розподіленої випадкової величини, яка задана диференціальною функцією розподілу
0, |
|
|
x 1; |
|||
1 |
|
|
|
|||
f (x) |
|
, |
|
|
1 x 5; |
|
4 |
|
|
||||
|
|
|
|
x 5. |
||
|
0, |
|
|
|||
А 3. Б 2. В 1. Г 5. |
|
|
|
|
|
|
3.4 Чому дорівнює дисперсія рівномірно розподіленої випадкової |
||||||
величини, яка задана диференціальною функцією розподілу |
||||||
|
|
0, |
x 1; |
|||
|
|
1 |
|
|||
f (x) |
|
, |
1 x 5; |
|||
4 |
||||||
|
|
|
|
x 5. |
||
|
|
|
0, |
|||
|
69 |
|
||||
А 3. Б 2. В 1. Г4 .
3
4.1 Кинуто дві гральні кістки. Яка ймовірність того, що різниця з’явившихся очок дорівнює трьом?
А 1 . Б 3 . В1 . Г5 .
12 |
4 |
6 |
7 |
4.2 В урні 3 білих і 5 чорних куль. По черзі витягують 2 кулі. Чому дорівнює ймовірність того, що перша куля біла (подія А), а друга (подія В) – чорна?
А |
1 |
. |
Б |
3 |
. |
В |
1 |
. |
Г |
15 |
. |
12 |
|
4 |
|
6 |
|
56 |
|
||||
4.3 Радіолокаційна станція здійснює спостереження за 5-ма об’єктами, кожен з яких може бути втраченим із імовірністю р=0,2. Чому дорівнює ймовірність того, що буде втраченим хоча б один об’єкт?
А (0,2)5 . Б 1 (0,2)5 . |
В (0,8)5 . Г1 (0,8)5 . |
|
|
5.1 Чому дорівнює |
f (x)dx? |
|
|
А 1. Б 0,8. В 1,5. |
Г 3. |
5.2 Яка формула виражає правило “трьох сигм”?
А P |
|
X a |
|
2 |
|
. |
Б P |
|
X a |
|
2 . |
||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
В P |
|
X a |
|
|
|
. |
Г P |
|
X a |
|
3 2 3 |
||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
5.3 Чому дорівнює ймовірність попадання випадкової величини Х в інтервал (а,b) через функцію розподілу?
А F(b)-F(a). Б F(a)-F(b). В F(b-a). Г F(a-b).
7 ПИТАННЯ ДЛЯ САМОПІДГОТОВКИ
7.1 Основні поняття теорії ймовірностей
1 Яка подія називається достовірною, неможливою, випадковою?
2 Які події називаються несумісними, єдиноможливими, рівноможливими?
3Що називається ймовіpністю події А?
4Сформулюйте властивості ймовірності.
5Що називається відносною частотою події А?
6Дайте поняття статистичної ймовірності?
7.2 Основні теореми теорії імовірностей
1 Що називається сумою двох або декількох подій?
2 Сформулюйте і доведіть теорему додавання несумісних подій, її наслідок.
70