modul_teor_ver_ua

2.6.Рівномірний та нормальний розподіли випадкових величин

1Дана щільність f(x) рівномірно розподіленої випадкової величини Х (таблиця 1).

а) імовірність попадання випадкової величини Х в інтервал ( ; ); б) імовірність абсолютної величини відхилення випадкової величини Х

від її математичного сподівання;

в) імовірність того, що X M(X) , якщо звісна дисперсія D(X).

41

Таблиця 2

3ВАРІАНТИ ПІДСУМКОВОГО ЗАВДАННЯ

3.1Розв’язати задачі, використовуючи теорію випадкових подій.

Варіант 1

1 У конверті серед 100 фотографій знаходиться 1, яку розшукують. Із конверта навмання беруть 10 фотографій. Знайти ймовірність того, що серед них знаходиться розшукувана.

42

2Перша коробка містить 30 радіоламп, з яких 12 стандартних, друга – 20 ламп, з яких 15 стандартних. Із другої коробки навмання взята лампа і перекладена в першу. Знайти ймовірність того, що лампа взята навмання з першої коробки буде стандартна.

3Знайти ймовірність того, що подія А настає 60 разів у 350 випробуваннях, якщо ймовірність появи цієї події в кожному випробуванні дорівнює 0,65.

4Імовірність появи події в кожному із 200 випробувань дорівнює 0,7. Знайти ймовірність того, що ця подія з’явиться від 60 до 85 разів.

Варіант 2

1 У партії з 15 деталей 8 – стандартних. Знайти ймовірність того, що серед 6 взятих навмання деталей 4 будуть стандартні.

2 У групі спортсменів: 25 лижників, 10 велосипедистів, 15 бігунів. Імовірність виконати кваліфікаційну норму така: для лижника 0,9, для велосипедиста 0,85, для бігуна 0,7. Знайти ймовірність того, що спортсмен вибраний навмання виконає норму.

3 Знайти ймовірність того, що подія А настає 80 разів у 500 випробуваннях, якщо ймовірність появи цієї події в кожному випробуванні дорівнює 0,6.

4 Імовірність появи події в кожному з 800 незалежних випробувань дорівнює 0,9. Знайти ймовірність того, що відносна частота появи події відхилиться від її ймовірності за абсолютною величиною не більше, ніж на 0,03.

Варіант 3

1 У першості з футболу брали участь 18 команд, з яких 5 лідирує. Команди розподіляють на 2 групи по 9 команд. Яка ймовірність попадання всіх команд, що лідирує, в одну групу.

2 Складальник отримав 3 коробки деталей, вироблених на заводі №1 і 4 коробки деталей завода №2. Імовірність того, що деталь завода №1 стандартна дорівнює 0,7, а завода №2 – 0,9. Складальник навмання взяв деталь із навмання вибраної коробки. Знайти ймовірність того, що взята стандартна деталь.

3 Знайти ймовірність того, що подія А настає 70 разів у 400 випробуваннях, якщо ймовірність появи цієї події в кожному випробуванні дорівнює 0,55.

4 Завод відправив на базу 1500 якісних виробів. Імовірність пошкодження кожного виробу в дорозі дорівнює 0,0001. Знайти ймовірність того, що в дорозі буде пошкоджено 3 вироби.

Варіант 4

1 Навмання взятий телефонний номер складається з 5 цифр. Яка ймовірність того, що в номері всі цифри різні.

2 Два автомати виготовляють однакові деталі. Продуктивність першого автомата вдвічі більше другого. Виготовлення деталей відмінної якості для

43

автоматів відповідно дорівнює 0,7; 0,8. Взята навмання деталь виявилась відмінної якості. Знайти ймовірність того, що ця деталь зроблена першим автоматом.

3 Знайти ймовірність того, що подія А настає 80 разів у 300 випробуваннях, якщо ймовірність появи цієї події в кожному випробуванні дорівнює 0,7.

4 Імовірність появи події в кожному із 400 випробувань дорівнює 0,8. Знайти ймовірність того, що ця подія з’явиться від 65 до 75 разів.

Варіант 5

1 На полиці 25 підручників, з яких 5 з теорії імовірностей. Студент навмання бере 2 підручники. Знайти ймовірність того, що вони з теорії імовірностей.

2 У телевізійному ательє 4 кінескопи. Імовірності того, що кінескоп витримає гарантійний строк, відповідно дорівнюють: 0,6; 0,7; 0,8; 0,9. Знайти ймовірність того, що взятий навмання кінескоп витримає гарантійний строк.

3 Знайти ймовірність того, що подія А настає 75 разів у 600 випробуваннях, якщо ймовірність появи цієї події в кожному випробуванні дорівнює 0,75.

4 Імовірність появи події в кожному з 750 незалежних випробувань дорівнює 0,8. Знайти ймовірність того, що відносна частота появи події відхилиться від її ймовірності за абсолютною величиною не більше, ніж на

0,02.

Варіант 6

1 Тризначне число утворене неповторними цифрами із цифр 1, 2, 3, 4, 5. Знайти ймовірність того, що це число парне.

2 Знайти ймовірність того, що навмання взяте двозначне число буде кратне 3 або 7, або 3 і 7.

3 У партії з 24 виробів 6 – браковані. Яка ймовірність того, що серед взятих навмання 4 виробів 2 – будуть бракованими.

4 Знайти ймовірність того, що подія А наступе 65 разів у 550 випробуваннях, якщо ймовірність появи цієї події в кожному випробуванні дорівнює 0,6.

Варіант 7.

1 Задумано двозначне число, цифри якого різні. Знайти ймовірність того, що задуманим числом виявиться випадково назване двозначне число.

2 Деякий виріб випускається двома заводами, причому другий завод випускає виробів в 4 рази більше першого. Імовірність брака для кожного завода відповідно дорівнює 0,02; 0,01. Знайти ймовірність того, що придбаний бракованій виріб виготовлено на другому заводі.

3 У партії з 30 виробів 6 – бракованих. Яка ймовірність того, що серед взятих навмання 5 виробів 2 будуть бракованими.

44

4 Знайти ймовірність того, що подія А настає 85 разів у 750 випробуваннях, якщо ймовірність появи цієї події в кожному випробуванні дорівнює 0,65.

Варіант 8

1 При перевезенні ящика, в якому знаходились 21 стандартний і 10 нестандартних виробів, загубили 1 виріб, причому невідомо який. Навмання взятий з ящика виріб виявився стандартним. Знайти ймовірність того, що загубили стандартний виріб..

2 На виробництві виготовляють вироби на трьох поточних лініях. Кількість виробів кожної лінії відповідно складає 35 %, 20 %, 45%. Відсоток стандартних виробів для кожної лінії відповідно дорівнює 0,96; 0,97; 0,98. Знайти ймовірність того, що взятий навмання стандартний виріб виготовлен на 3 лінії.

3 Знайти ймовірність того, що подія А настає 90 разів у 1600 випробуваннях, якщо ймовірність появи цієї події в кожному випробуванні дорівнює 0,7.

4 Імовірність появи події в кожному з 1000 незалежних випробувань дорівнює 0,8. Знайти ймовірність того, що відносна частота появи події відхилиться від її ймовірності за абсолютною величиною не більше, ніж на

0,03.

Варіант 9

1 У ящику 100 деталей, серед них 10 бракованих. Навмання беруть 4 деталі. Знайти ймовірність того, що серед взятих деталей будуть 3 стандартні.

2 У цеху три типи автоматичних верстатів. Продуктивність їх однакова, а якість різна. Відмінна якість верстатів відповідно дорівнює 0,8; 0,9; 0,85. Кількість верстаті типів відповідна 5, 3, 2. Взятий навмання виріб виявився відмінної якості. Знайти ймовірність того, що цей виріб належить верстату першого типу.

3 У партії з 30 виробів 6 – браковані. Яка ймовірність того, що серед взятих навмання 10 виробів 4 – будуть бракованими.

4.Знайти ймовірність того, що подія А настає 65 разів у 800 випробуваннях, якщо ймовірність появи цієї події в кожному випробуванні дорівнює 0,7.

Варіант 10

1 Гральну кістку кидають двічі. Знайти ймовірність того, що обидва рази з'явиться однакове число очок.

2 На складання потрапляють деталі з трьох автоматів. Брак відповідно складає 0,2 % , 0,3 % , 0,4 %. Знайти ймовірність попадання на складання бракованої детали, якщо з першого автомата поступило 1600, з другого – 2000, з третього – 2400 деталей.

3 У партії з 20 виробів 5 – браковані. Яка ймовірність того, що серед взятих навмання 4 виробів 3 будуть бракованими.

45

4 Знайти ймовірність того, що подія А настає 60 разів у 900 випробуваннях, якщо ймовірність появи цієї події в кожному випробуванні дорівнює 0,8.

Варіант 11

1 У групі 25 студентів, серед яких 6 відмінників. Навмання відбирають 10 студентів. Знайти ймовірність того, що серед них будуть 5 відмінників.

2 На двох автоматичних верстатах виробляються однакові вироби. Продуктивність першого верстата вдвічі більше, ніж другого. Імовірність виготовлення вироба вищої якості відповідно дорівнює 0,75 і 0,9. Знайти ймовірність того, що взятий навманння виріб буде вищої якості.

3 У партії з 30 виробів 6 – браковані. Яка ймовірність того, що серед взятих навмання 4 виробів 3 будуть бракованими.

4 Знайти ймовірність того, що подія А настає 100 разів у 1900 випробуваннях, якщо ймовірність появи цієї події в кожному випробуванні дорівнює 0,7.

Варіант 12

1 У коробці 10 однакових виробів, серед яких 7 пофарбованих. Навмання беруть 5 виробів. Знайти ймовірність того, що серед них 3 пофарбовані.

2 У групі 30 чоловік, з них 12 хлопців і 18 дівчат. Із хлопців до семінара підготувались 8 чоловік, а з дівчат – 12. Когось визвали і відповідь була дана. Знайти ймовірність того, що була визвана дівчина.

3 У партії з 20 виробів 4 – браковані. Яка ймовірність того, що серед взятих навмання 3 виробів 2 будуть бракованими.

4 Знайти ймовірність того, що подія А настає 75 разів у 600 випробуваннях, якщо ймовірність появи цієї події в кожному випробуванні дорівнює 0,7.

Варіант 13

1 Збори, на яких присутні 25 чоловік, в тому числі 5 жінок, обирають делегацію з 3 чоловік. Знайти ймовірність того, що в делегацію увійдуть 2 жінки і 1 чоловік.

2 Три верстати працюють незалежно один від іншого. Імовірність безперебійної роботи протягом зміни для першого верстата дорівнює 0,6, для другого – 0,8, для третього – 0,7. Знайти ймовірність того, що протягом зміни тільки один верстат працює безперебійно.

3 У партії з 32 виробів 8 – браковані. Яка ймовірність того, що серед взятих навмання 5 виробів 2 будуть бракованими.

4 Знайти ймовірність того, що подія А настає 70 разів у 1000 випробуваннях, якщо ймовірність появи цієї події в кожному випробуванні дорівнює 0,8.

Варіант 14

1 У лотереї 100 білетів, з яких 25 виграшних. Знайти ймовірність того, що кожний із двох отриманих білетів буде виграшним.

46

2 Студент знає 40 з 60 питань програми. Кожний екзаменаційний білет містить 3 питання. Знайти ймовірність того, що студент знає хоча б одне питання.

3 Знайти ймовірність того, що подія А настає 65 разів у 1000 випробуваннях, якщо ймовірність появи цієї події в кожному випробуванні дорівнює 0,7.

4 Імовірність появи події в кожному з 1000 незалежних випробувань дорівнює 0,8. Знайти імовірність того, що відносна частота появи події відхилиться від її ймовірності за абсолютною величиною не більше, ніж на

0,03.

Варіант 15

1 На тепловій електростанції 15 змінних інженерів, з яких 4 жінки. В зміну зайнято 3 інженери. Знайти ймовірність того, що в навмання вибрану зміну попадуть 2 чоловіка.

2 В урні 6 білих, 4 чорних і 10 синіх кулі. Випробування полягає в тому, що навмання з урни беруть кулю, не повертаючи її в урну. Знайти ймовірність того, що при першому випробуванні з’явиться біла куля, при другому – чорна, при третьому – синя.

3 У партії з 25 виробів 5 – браковані. Яка ймовірність того, що серед взятих навмання 4 виробів 2 будуть бракованими.

4 Знайти ймовірність того, що подія А настає 70 разів у 900 випробуваннях, якщо ймовірність появи цієї події в кожному випробуванні дорівнює 0,85.

Варіант 16

1 На п’яти картках написані літери А, З, І, Л, К. Після перемішування беруть по одній картці й кладуть послідовно рядом. Знайти ймовірність того, що буде отримано слово ЗАЛІК.

2 У піраміді 15 гвинтівок, 5 з яких обладнані оптичним прицілюванням. Імовірність того, що стрілець влучить у мішень з гвинтівки з прицілюванням дорівнює 0,95, без прицілювання – 0,77.Знайти ймовірність того, що в мішень буде влучено з навмання взятої гвинтівки.

3 Знайти ймовірність того, що подія А настає 90 разів у 1800 випробуваннях, якщо ймовірність появи цієї події в кожному випробуванні дорівнює 0,6.

4 Імовірність того, що будь-який із 3000 абонентів зателефонує на комутатор протягом години дорівнює 0,03. Знайти ймовірність того, що протягом години зателефонує 2 абоненти.

Варіант 17

1 Збори, на яких присутні 25 чоловік, у тому числі 6 жінок, обирають делегацію з трьох чоловік. Знайти ймовірність того, що в делегацію увійдуть 1 жінка і 2 чоловіки.

47

2 На фабриці виготовляють вироби на трьох поточних лініях. Вироби з кожної лінії відповідно складають: 40 %, 35 %, 25 %. Стандартність виробів на кожній лінії відповідно дорівнює 97 %, 96 %, 94 %. Знайти ймовірність того, що навмання взятий виріб буде бракованим.

3 Знайти ймовірність того, що подія А настає 90 разів у 1500 випробуваннях, якщо ймовірність появи цієї події в кожному випробуванні дорівнює 0,7.

4 Імовірність появи події в кожному з 1800 випробувань дорівнює 0,6. Знайти ймовірність того, що ця подія з’явиться від 63 до 73 разів.

Варіант 18

1 Кинуто дві гральні кістки. Знайти ймовірність того, що сума очок на них дорівнює 7, а добуток 12.

2 Ящик містить однакові вироби, де 30 % виготовлені першим автоматом, інші – другим. Брак продукції відповідно складає 3 %, 5 %. Знайти ймовірність того, що навмання взятий виріб буде бракованим.

3 Знайти ймовірність того, що подія А настає 65 разів у 800 випробуваннях, якщо ймовірність появи цієї події в кожному випробуванні дорівнює 0,75.

4 Імовірність того, що будь-який з 1500 абонентів зателефонує на комутатор протягом години дорівнює 0,03. Знайти ймовірність того, що протягом години зателефонує 2 абоненти.

Варіант 19

1 У партії з 100 виробів 10 – бракованих. Знайти ймовірність того, що серед взятих 4 виробів 3 будуть не браковані.

2 На підприємстві працюють три поточні лінії.На кожній лінії виробляють відповідно виробів: 30 %, 25 %. 45 % . Стандартність виробу для кожної лінії відповідно дорівнює 95 %, 96 %, 97 %. Знайти ймовірність того, що навмання взятий виріб буде бракованим.

3 Знайти ймовірність того, що подія А настає 70 разів у 950 випробуваннях, якщо ймовірність появи цієї події в кожному випробуванні дорівнює 0,75.

4 Імовірність появи події в кожному з 1800 випробувань дорівнює 0,6. Знайти ймовірність того, що ця подія з’явиться від 55 до 65 разів.

Варіант 20

1 На 100 картках написані числа від 1 до 100. Знайти ймовірність того, що випадково взята картка містить цифру 5.

2 На підприємстві працюють дві бригади робітників: перша – виготовляє 0,8 продукції з відсотком брака 4 %, друга – 0,2 продукції з відсотком брака 5 %. Знайти ймовірність того, що взятий навмання бракований виріб був виготовлений другою бригадою.

3 У партії з 15 виробів 6 – бракованих. Яка ймовірність того, що серед взятих навмання 4 виробів 2 будуть бракованими.

48

4 Знайти ймовірність того, що подія А настає 75 разів у 1000 випробуваннях, якщо ймовірність появи цієї події в кожному випробуванні дорівнює 0,7.

Варіант 21

1 Кинуто дві гральні кістки. Знайти ймовірність того, що сума очок, які з’явилися на випавши гранях, дорівнює 6.

2 Ящик містить 15 виробів завода №1, серед яких 1 – бракований, 10 виробів заводу № 2, серед яких 2 – бракованих, 25 виробів заводу № 3, серед яких 3 – браковані. Навмання взятий виріб виявився бракованим. Знайти ймовірність того, що цей виріб заводу № 3.

3 Знайти ймовірність того, що подія А настає 80 разів у 1000 випробуваннях, якщо ймовірність появи цієї події в кожному випробуванні дорівнює 0,7.

4 Імовірність появи події в кожному з 1500 незалежних випробувань дорівнює 0,75. Знайти ймовірність того, що відносна частота появи події відхилиться від її ймовірності за абсолютною величиною не більше, ніж на 0,03.

Варіант 22

1 На 30 однакових картках написані 30 двозначних чисел від 11 до 40. Картки ретельно перемішують. Знайти ймовірність того, що навмання витягнута картка буде з номером кратним 5.

2 У будзагоні 60 % першокурсників і 40 % студентів другого курсу. Серед першокурсників – 20 % дівчат, а серед другокурсників – 10%. Усі дівчата по черзі чергують на кухні. Знайти ймовірність того, що в навмання вибраний день на кухні чергуюють дівчата.

3 У партії з 35 виробів 7 – браковані. Яка ймовірність того, що серед взятих навмання 5 виробів 3 будуть бракованими.

4 Знайти ймовірність того, що подія А настає 75 разів у 950 випробуваннях, якщо ймовірність появи цієї події в кожному випробуванні дорівнює 0,65.

Варіант 23

1 У студентській групі 28 чоловік, серед яких 20 студентів старше 22 років. При жеребкуванні розигрується 1 запрошувальний білет на вечір. Знайти ймовірність того, що білет виграє студент старше 22 років.

2 У обчислюваній лабораторії 4 клавішних автоматів і 6 напівавтоматів. Імовірність того, що під час виконання деякого розрахунку автомат не вийде із ладу дорівнює 0,9, для напівавтомата – 0,85. Наавмання вибирається машина. Знайти ймовірність того, що під час розрахунку вибрана машина не вийде із ладу.

3 Знайти ймовірність того, що подія А настає 82 рази в 1600 випробуваннях, якщо ймовірність появи цієї події в кожному випробуванні дорівнює 0,76.

49

4 Імовірність появи події в кожному з 1200 незалежних випробувань дорівнює 0,63. Знайти ймовірність того, що відносна частота появи події відхилиться від її ймовірності за абсолютною величиною не більше, ніж на

0,02.

Варіант 24

1 Кинуто дві гральні кістки. Знайти імовірність того, що сума очок на них буде менше 8.

2 Чотири верстати виготовляють деталі. Брак відповідно до верстатів складає: 0,2%, 0,35%, 0,3%, 0,4%. Продуктивності верстатів відносяться як 5: 3: 2: 1. На збирання надійшла стандартна деталь. Знайти ймовірність того, що ця деталь зроблена на четвертому верстаті.

3 Знайти ймовірність того, що подія А настає 58 разів у 950 випробуваннях, якщо ймовірність появи цієї події в кожному випробуванні дорівнює 0,75.

4 Імовірність того, що будь-який з 1800 абонентів зателефонують на комутатор протягом години дорівнює 0,02. Знайти ймовірність того, що протягом годинизателефонують 3 абоненти.

Варіант 25

1 В студентській групі 10 спортсменів, серед яких 7 юнаків і 3 дівчини. Трьох спортсменів обирають для участі в змаганнях. Знайти ймовірність того, що обраними будуть 3 юнаки.

2 Четверта частина виробів однієї з трьох партій – другосортна, інші вироби в усіх партіях – першосортні. Навмання взятий виріб із однієї партії виявився першосортним. Знайти ймовірність того, що виріб був взятий із партії, яка має другосортні вироби.

3 Знайти ймовірність того, що подія А настає 85 разів у 1950 випробуваннях, якщо ймовірність появи цієї події в кожному випробуванні дорівнює 0,85.

4 Імовірність появи події в кожному із 1780 випробувань дорівнює 0,86. Знайти ймовірність того, що ця подія з’явиться від 75 до 83 разів.

Варіант 26

1 У коробці 10 однакових виробів, серед яких 7 – пофарбовані. Навмання беруть 5 виробів. Знайти ймовірність того, що серед взятих виробів 3 – пофарбованi.

2 У телевізійному ательє 5 кінескопів. Імовірності того, що кінескоп витримає гарантійний строк, відповідно дорівнюють: 0,7; 0,8; 0,9; 0,6; 0,65. Знайти ймовірність того, що взятий навмання кінескоп витримає гарантійний строк.

3 У партії з 40 виробів 8 – браковані. Яка ймовірність того, що серед взятих навмання 6 виробів 4 будуть бракованими.

50