I уровень

1.1. Через точку проведите прямую, перпендикулярную двум заданным скрещивающимся прямым.

1.2. Определите, сколько различных плоскостей можно провести:

1) через три различные точки;

2) через четыре различные точки, никакие три из которых не лежат на одной плоскости.

1.3. Через вершины треугольника АВС, лежащего в одной из двух параллельных плоскостей, проведены параллельные прямые, пересекающие вторую плоскость в точках А₁, В₁, С₁. Докажите равенство треугольников АВС и А₁В₁С₁.

1.4. Из вершины А прямоугольника ABCD восставлен перпендикуляр АМ к его плоскости.

1) докажите, что треугольники MBC и MDC – прямоугольные;

2) укажите среди отрезков MB, MC, MD и MA отрезок наибольшей и наименьшей длины.

1.5. Грани одного двугранного угла соответственно параллельны граням другого. Определите, какова зависимость между величинами этих двугранных углов.

1.6. Найдите величину двугранного угла, если расстояние от точки, взятой на одной грани, до ребра в 2 раза больше расстояния от точки до плоскости второй грани.

1.7. Из точки, отстоящей от плоскости на расстояние проведены две равные наклонные, образующие угол 60º. Проекции наклонных взаимно перпендикулярны. Найдите длины наклонных.

1.8. Из вершины В квадрата ABCD восставлен перпендикуляр ВЕ к плоскости квадрата. Угол наклона плоскости треугольника АСЕ к плоскости квадрата равен , сторона квадрата равна а. Найдите площадь треугольника АСЕ.

II уровень

2.1. Через точку, которая не принадлежит ни одной из двух скрещивающихся прямых, проведите прямую, пересекающую обе данные прямые.

2.2. Параллельные прямые а, b и с не лежат в одной плоскости. Через точку А на прямой а проведены перпендикуляры к прямым b и с, пересекающие их соответственно в точках В и С. Докажите, что прямая ВС перпендикулярна прямым b и с.

2.3. Через вершину А прямоугольного треугольника АВС проведена плоскость, параллельная ВС. Катеты треугольника АС = 20 см, ВС = 15 см. Проекция одного из катетов на плоскость равна 12 см. Найдите проекцию гипотенузы.

2.4. В одной из граней двугранного угла, равного 30º, расположена точка М. Расстояние от нее до ребра угла равно 18 см. Найдите расстояние от проекции точки М на вторую грань до первой грани.

2.5. Концы отрезка АВ принадлежат граням двугранного угла, равного 90º. Расстояние от точек А и В до ребра равны соответственно АА₁ = 3 см, ВВ₁ = 6 см, расстояние между точками на ребре – Найдите длину отрезкаАВ.

2.6. Из точки, отстоящей от плоскости на расстояние а, проведены две наклонные, образующие с плоскостью углы 45º и 30º, а между собой угол 90º. Найдите расстояние между основаниями наклонных.

2.7. Стороны треугольника равны 15 см, 21 см и 24 см. Точка М удалена от плоскости треугольника на 73 см и находится на одинаковом расстоянии от его вершин. Найдите это расстояние.

2.8. Из центра О окружности, вписанной в треугольник АВС, к плоскости треугольника восставлен перпендикуляр ОМ. Найдите расстояние от точки М до сторон треугольника, если АВ = ВС = 10 см, АС = 12 см, ОМ = 4 см.

2.9. Расстояния от точки М до сторон и вершины прямого угла соответственно равны 4 см, 7 см и 8 см. Найдите расстояние от точки М до плоскости прямого угла.

2.10. Через основание АВ равнобедренного треугольника АВС проведена плоскость под углом  к плоскости треугольника. Вершина С удалена от плоскости на расстояние а. Найдите площадь треугольника АВС, если основание АВ равнобедренного треугольника равно его высоте.