Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
МАТЕМАТИКА В ПРИМЕРАХ И ЗАДАЧАХ / Часть 2 / 8. Векторы на плоскости.doc
Скачиваний:
92
Добавлен:
24.02.2016
Размер:
1.4 Mб
Скачать

8. Векторы на плоскости

8.1. Векторы и простейшие действия над ними

Под вектором на плоскости понимают направленный отрезок с началом в точке А и концом в точке B, который обозначается (или).Модулем, или длиной, такого вектора называется длина отрезка

Если нет необходимости указывать начало и конец вектора, то его обозначают или

Различают векторы связанные (закрепленные) с фиксированным началом и свободные. Под свободным вектором понимают класс эквивалентных направленных отрезков, т. е. таких отрезков, которые совмещаются при параллельном переносе.

Векторы и называются коллинеарными (обозначение: ), если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Кроме того, если они имеют одинаковое направление, их называютсонаправленными (обозначение: ), а еслипротивоположное – противоположно направленными (обозначение: ).

Два вектора называютсяравными, если они имеют одинаковые длины и являются сонаправленными. Записывается это с помощью обычного знака равенства: При этом записьпонимают также в смысле, что начало свободного вектораприложено к точкеА.

Вектор нулевой длины называется нулевым и обозначается Направление такого вектора считается неопределенным. У нулевого вектора начальная и конечная точки совпадают.

Пусть заданы два ненулевых вектора Отложим их от некоторой точки О таким образом, чтобы Под углом между векторами и понимают наименьший положительный угол, на который надо повернуть один из векторов, чтобы его направление совпало с направлением второго вектора. Этот угол не зависит от выбора точки О и изменяется от 0 до .

Для векторов определены следующие линейные операции: умножение вектора на действительное число и сложение векторов

Произведением вектора на действительное число λ называется вектор удовлетворяющий следующим условиям:

Для того чтобы сложить векторы и геометрически, используют правило треугольника: начало вектора совмещается с концом вектораих суммой является векторначало которого совпадает с началом вектораа конец – с концом вектора(рис. 8.1). Для обозначения этого действия используется обычный знак суммы:

Рис. 8.1

Сложение двух векторов можно производить также по правилу параллелограмма: векторы иприводятся к общему началу, некоторой точкеО, и на них строится параллелограмм. Тогда суммой этих векторов является вектор который совпадает с диагональю построенного параллелограмма, исходящей из точкиО (рис. 8.2).

Рис. 8.2

Сумма трех и более векторов может быть найдена по правилу замыкания (ломаной). Это вектор, начало которого совпадает с началом вектора а конец – с концом вектора(рис. 8.3).

Рис. 8.3

Свойства линейных операций над векторами:

  1. коммутативность сложения векторов, т. е.

  1. ассоциативность сложения векторов, т. е.

  1. дистрибутивность сложения векторов относительно умножения на действительное число λ, т. е.

дистрибутивность сложения действительных чисел относительно умножения на вектор, т. е.

  1. коммутативность и ассоциативность операции умножения вектора на число, т. е.

Вектор называетсяпротивоположным вектору

Разностью векторов иназывается вектор

Для того чтобы найти разность векторыиприводятся к общему началу. Тогда разностьюбудет являться вектору которого начало совпадает с концом вектораа конец – с концом вектора(рис. 8.4).

Рис. 8.4

Таким образом, геометрически векторы и изображаются диагоналями параллелограмма, построенного на векторах икоторые приведены к общему началу (рис. 8.5):

Рис. 8.5

Вектор называетсяортом (единичным вектором) вектора еслииДля его нахождения может быть использована формула

Вектор называетсялинейной комбинацией векторов если существуют числа такие, что

Говорят, что точка C делит вектор в отношенииλ (λ > 0), если =λ

Кроме линейных операций, для векторов определено также скалярное умножение.

Скалярным произведением двух ненулевых векторовиназывается число

Скалярное произведение обозначается также

Если хотя бы один из векторов илинулевой, то

Скалярным квадратом вектора называется величина

Физический смысл скалярного произведения двух векторов состоит в том, что оно численно равно работе, осуществляемой силой по перемещению материальной точки на вектор т. е.

.

Для вычисления угла между векторами иможно воспользоваться формулой

Свойства скалярного произведения:

  1. –коммутативность;

  2. –дистрибутивность;

  3. ;

  4. тогда и только тогда, когда

  5. тогда и только тогда, когда

тогда и только тогда, когда

6)

7)

Пример 1. По заданным трем векторам (рис. 8.6) изобразить их линейную комбинацию

Рис. 8.6

Решение. Зафиксируем на плоскости произвольную точку О и отложим от нее вектор (рис. 8.7). Затем от конца вектора отложим вектори, наконец, векторисходящий из концевой точки вектораИскомая линейная комбинация изображается вектором, замыкающим полученную ломаную с началом в точке О.

Рис. 8.7

Пример 2. Найти вектор, определяющий направление биссектрисы угла между ненулевыми векторами и

Решение. 1-й способ. Пусть для определенности ТогдаРассмотрим векторыис общим началом в некоторой точке. По определению суммы векторов векторсовпадает с диагональю параллелограмма, построенного на векторахиПоскольку то вектор совпадает с диагональю ромба, а значит, с направлением биссектрисы угла между этими векторами и векторамии Используя введенные обозначения, заключаем, что искомое направление биссектрисы может быть задано вектором

Аналогично можно показать, что вектором, задающим направление этой же биссектрисы, является также и

2-й способ. Отложим от фиксированной точки плоскости единичные векторы и построим на них ромб, диагональ которогосовпадает с направлением биссектрисы угла между векторамиа значит, междуи

Пример 3. В трапеции ABCD отношение длины основания AD к длине основания BC равно λ. Полагая выразить черезивекторы

Решение. Проведем диагонали AC и BD (рис. 8.8). Пусть О – точка их пересечения.

Тогда из подобия треугольников AOD и COB и условия следует, чтоИмеем:

Рис. 8.8

Аналогично из равенств иполучаем:

что ведет к соотношениям

соответственно.

Тогда, подставив найденные выражения вместо иполучим:

Пример 4. Найти угол, образованный единичными векторами иеслипричем

Решение. Найдем скалярное произведение векторов ииспользуя его алгебраические свойства:

Из условия следуетт. е.

Учитывая, что имеем:

Следовательно,

Из последнего соотношения получаем:

Пример 5. Найти диагонали параллелограмма, построенного на векторах иугол между которыми равен 60, причем

Решение. По определению линейных операций над векторами, диагонали параллелограмма, построенного на векторах равны соответственно

Так как то имеем следующее:

Задания