III уровень

3.1. Боковое ребро правильной треугольной пирамиды равно b и образует с плоскостью основания угол α. В пирамиду вписан равносторонний цилиндр так, что его нижнее основание лежит в плоскости основания пирамиды. Найдите высоту цилиндра.

3.2. Сфера с центром в вершине конуса касается его основания и делит поверхность конуса на две части, имеющие равные площади. Найдите угол при вершине осевого сечения конуса.

3.3. В куб, ребро которого равно a, вписан конус с углом между образующими в осевом сечении, равным α. Найдите длину образующей и радиус основания конуса, если его высота лежит на диагонали куба.

3.4. Шар касается трех граней куба, содержащих одну вершину, и проходит через вершину куба, противолежащую первой. Найдите радиус шара, если ребро куба равно a.

3.5. Цилиндр завершен сверху полушаром. Объем тела равен 45π. При каком радиусе полушара полная поверхность тела будет наименьшей?

3.6. В конус с радиусом основания R и высотой H вписан цилиндр. Найдите линейные размеры цилиндра, при которых его объем будет наибольшим.

3.7. Найдите наибольший объем правильной шестиугольной пирамиды вписанной в шар, радиус которого равен R.

3.8. В правильную четырехугольную пирамиду вписан цилиндр так, что окружность его верхнего основания касается всех боковых граней пирамиды, а нижнее основание лежит в плоскости основания пирамиды. Какую часть высоты пирамиды должна составлять высота цилиндра, чтобы объем цилиндра был наибольшим?

263 264