12.5. Конус. Усеченный конус

Конической поверхностью называется поверхность, образованная всеми прямыми, проходящими через каждую точку данной кривой и точку вне кривой (рис. 12.32).

Данная кривая называется направляющей, прямые – образующими, точка – вершиной конической поверхности.

Прямой круговой конической поверхностью называется поверхность, образованная всеми прямыми, проходящими через каждую точку данной окружности и точку на прямой, которая перпендикулярна плоскости окружности и проходит через ее центр. В дальнейшем эту поверхность будем кратко называть конической поверхностью (рис. 12.33).

Конусом (прямым круговым конусом) называется геометрическое тело, ограниченное конической поверхностью и плоскостью, которая параллельна плоскости направляющей окружности (рис. 12.34).

Рис. 12.32 Рис. 12.33 Рис. 12.34

Конус можно рассматривать как тело, полученное при вращении прямоугольного треугольника вокруг оси, содержащей один из катетов треугольника.

Круг, ограничивающий конус, называется его основанием. Вершина конической поверхности называется вершиной конуса. Отрезок, соединяющий вершину конуса с центром его основания, называется высотой конуса. Отрезки, образующие коническую поверхность, называются образующими конуса. Осью конуса называется прямая, проходящая через вершину конуса и центр его основания. Осевым сечением называется сечение, проходящее через ось конуса. Разверткой боковой поверхности конуса называется сектор, радиус которого равен длине образующей конуса, а длина дуги сектора равна длине окружности основания конуса.

Для конуса верны формулы:

(12.7)

где S_осн – площадь основания; R – радиус основания; S_бок – площадь боковой поверхности; l – длина образующей; S_полн – площадь полной поверхности; V – объем конуса; H – высота.

Усеченным конусом называется часть конуса, заключенная между основанием и секущей плоскостью, параллельной основанию конуса (рис. 12.35).

Рис. 12.35

Усеченный конус можно рассматривать как тело, полученное при вращении прямоугольной трапеции вокруг оси, содержащей боковую сторону трапеции, перпендикулярную основаниям.

Два круга, ограничивающие конус, называются его основаниями. Высотой усеченного конуса называется расстояние между его основаниями. Отрезки, образующие коническую поверхность усеченного конуса, называются образующими. Прямая, проходящая через центры оснований, называется осью усеченного конуса. Осевым сечением называется сечение, проходящее через ось усеченного конуса.

Для усеченного конуса верны формулы:

(12.8)

где S_бок – площадь боковой поверхности; R – радиус нижнего основания; r – радиус верхнего основания; l – длина образующей; S_полн – площадь полной поверхности; V – объем усеченного конуса; H – высота.

Пример 1. Сечение конуса, параллельное основанию, делит высоту в отношении 1 : 3, считая от вершины. Найти площадь боковой поверхности усеченного конуса, если радиус основания и высота конуса равны 9 см и 12 см.

Решение.Сделаем рисунок (рис. 12.36).

Рис. 12.36

Для вычисления площади боковой поверхности усеченного конуса используем формулу (12.8). Найдем радиусы оснований О₁А и О₂В и образующую АВ.

Рассмотрим подобные треугольники SO₂B и SO₁A, коэффициент подобия равен тогда

Отсюда

Из SO₁A вычисляем: (см).

Так как то

Площадь боковой поверхности усеченного конуса равна:

Получаем ответ: см².

Пример 2. Четверть круга радиуса свернута в коническую поверхность. Найти радиус основания и высоту конуса.

Решение. Круговой сектор является разверткой боковой поверхности конуса. Обозначим r – радиус его основания, H – высота. Площадь боковой поверхности вычислим по формуле Она равна площади четверти круга:Получим уравнениес двумя неизвестнымиr и l (образующая конуса). В данном случае образующая равна радиусу четверти круга R, значит, получим следующее уравнение: откудаЗная радиус основания и образующую, найдем высоту конуса:

Получаем ответ: 2 см, см.

Пример 3. Прямоугольная трапеция с острым углом 45º, меньшим основанием 3 см и наклонной боковой стороной, равной вращается вокруг боковой стороны, перпендикулярной основаниям. Найти объем полученного тела вращения.

Решение. Сделаем рисунок (рис. 12.37).

Рис. 12.37

В результате вращения получим усеченный конус. Чтобы найти его объем, вычислим радиус большего основания и высоту. В трапеции O₁O₂AB проведем AC  O₁B. В имеем: значит, этот треугольник равнобедренныйAC = BC = 3 см.

Так как вычислим объем:

Получаем ответ: см³.

Пример 4. Треугольник АВС со сторонами ВС = 13 см, АС = 37 см и АВ = 40 см вращается вокруг внешней оси, которая параллельна большей стороне и находится от нее на расстоянии 3 см (ось расположена в плоскости треугольника). Найти площадь поверхности полученного тела вращения.

Решение. Сделаем рисунок (рис. 12.38).

Рис. 12.38

Поверхность полученного тела вращения состоит из боковых поверхностей двух усеченных конусов и боковой поверхности цилиндра. Для того чтобы вычислить эти площади, необходимо знать радиусы оснований конусов и цилиндра (BE и OC), образующие конусов (BC и AC) и высоту цилиндра (AB). Неизвестной является только OC. – это расстояние от стороны треугольника до оси вращения. НайдемDC. Площадь треугольника ABC, с одной стороны, равна произведению половины стороны AB на высоту, проведенную к ней DC, с другой стороны, зная все стороны треугольника, его площадь вычислим по формуле Герона

Но

Из этих равенств находим Подставляя найденные значения, получаем:

Таким образом, площадь поверхности тела вращения равна

Пример 5. Два конуса имеют общую высоту, но вершины их лежат в разных концах высоты. Образующая первого конуса равна l, а угол при вершине его осевого сечения равен 2. Угол при вершине осевого сечения второго конуса равен 2. Найти объем общей части конусов.

Решение. Сделаем рисунок (рис. 12.39).

Рис. 12.39

Объем общей части конусов равен сумме объемов конуса с общим основанием радиуса ВА, высотой BD и высотой BC соответственно. Получим следующее выражение для вычисления объема:

Рассмотрим первый конус, у которого образующая DF равна l, а угол при вершине осевого сечения ТреугольникCDF – прямоугольный, тогдаИз треугольникаBDA () выразимDB: Из треугольника BCA () выразимBC:

Получим следующее: илиИз этих равенств следует:откуда имеем:

Подставив найденные выражения в формулу для вычисления объема, получим:

Получаем ответ:

Задания