III уровень

3.1. Радиус основания конуса равен R, образующая наклонена к плоскости основания под углом . В конусе через вершину под углом  к его высоте проведена плоскость. Найдите площадь полученного сечения.

3.2. Площади оснований усеченного конуса равны 81 см² и 225 см², образующая относится к высоте как 5 : 4. Найдите площадь осевого сечения.

3.3. Диагонали осевого сечения усеченного конуса взаимно перпендикулярны. Площадь осевого сечения равна 324 см². Найдите площади оснований конуса, зная, что радиус одного основания на 2 см больше другого.

3.4. Дана трапеция ABCD, у которой AD = 15 см, BC = 9 см, AB = CD = 5 см. Трапеция вращается вокруг оси, проходящей через вершину A и перпендикулярно AD. Найдите площадь поверхности полученного тела вращения.

3.5. Прямая отсекает от сторон прямоугольного треугольника, угол между которыми 60, отрезки, длины которых составляют четвертую часть длины гипотенузы, считая от вершины этого угла. Найдите отношение площади треугольника к площади поверхности тела, полученного при вращении этого треугольника вокруг прямой.

3.6. Конус лежит на плоскости и катится по ней, вращаясь вокруг своей неподвижной вершины. Высота конуса равна h, образующая – b. Найдите площадь поверхности, описываемой высотой конуса.

3.7. Два конуса имеют общее основание. В общем осевом сечении образующая одного из конусов перпендикулярна противолежащей образующей другого. Объем одного из них вдвое меньше объема другого. Найдите угол между образующей большего конуса и плоскостью оснований конусов.

3.8. Треугольник АВС, у которого АВ = 13 см, ВС = 20 см, АС = 21 см, вращается вокруг оси, проходящей через вершину А перпендикулярно АС. Найдите объем полученного тела вращения.

3.9. Параллелограмм вращается вокруг оси, проходящей через вершину острого угла перпендикулярно большей диагонали. Найдите объем тела вращения, если стороны параллелограмма и его большая диагональ равны соответственно 15 см, 37 см и 44 см.

3.10. Образующая усеченного конуса, равная l, наклонена к плоскости основания под углом . Отношение площадей оснований конуса равно 4. Найдите объем усеченного конуса.

12.6. Шар

Шар и сфера

Сферой называется множество всех точек пространства, равноудаленных от данной точки.

Данная точка называется центром сферы. Отрезок, соединяющий центр сферы с любой ее точкой, называется радиусом сферы. Хордой называется отрезок, соединяющий две точки сферы. Диаметром называется хорда, проходящая через центр сферы (рис. 12.40).

Рис. 12.40

Шаром называется геометрическое тело, ограниченное сферой. Центр, радиус, хорда и диаметр сферы называются соответственно центром, радиусом, хордой и диаметром шара (рис. 12.40).

Шар можно рассматривать как тело, полученное при вращении полукруга вокруг оси, содержащей диаметр полукруга.

Сферой также называется поверхность шара.

Плоскость, имеющая со сферой единственную общую точку, называется касательной плоскостью к сфере (шару). Общая точка называется точкой касания сферы (шара) и плоскости.

Теорема. Для того чтобы плоскость была касательной к сфере (шару), необходимо и достаточно, чтобы эта плоскость была перпендикулярна к радиусу сферы (шара), проведенному в точку касания.

Для шара верны формулы:

где S – площадь поверхности шара (площадь сферы); R – радиус шара; V – объем шара.

Шаровой сегмент и сферический сегмент

Шаровым сегментом называется часть шара, отсекаемая от него плоскостью. Круг, получившийся в сечении, называется основанием сегмента. Отрезок, соединяющий центр основания сегмента с точкой поверхности шара, перпендикулярный основанию, называется высотой шарового сегмента (рис. 12.41). Поверхность сферической части шарового сегмента называется сферическим сегментом.

Рис. 12.41

Для шарового сегмента верны формулы:

где S – площадь сферической части шарового сегмента (площадь сферического сегмента); R – радиус шара; h – высота сегмента; S_полн – площадь полной поверхности шарового сегмента; r – радиус основания шарового сегмента; V – объем шарового сегмента.

Шаровой слой и сферический пояс

Шаровым слоем называется часть шара, заключенная между двумя параллельными секущими плоскостями. Круги, получившиеся в сечении, называются основаниями слоя. Расстояние между секущими плоскостями называется высотой слоя (рис. 12.42). Поверхность сферической части шарового слоя называется сферическим поясом.

Шар, шаровой сегмент и шаровой слой можно рассматривать как геометрические тела вращения. При вращении полукруга вокруг оси, содержащей диаметр полукруга, получается шар, соответственно при вращении частей круга получаются части шара: шаровой сегмент и шаровой слой.

Рис. 12.42

Для шарового слоя верны формулы:

где S₁, S₂ – площади оснований; R₁, R₂ – радиусы оснований; S – площадь сферической части шарового слоя (площадь сферического пояса); R – радиус шара; h – высота; S_полн – площадь полной поверхности; V – объем шарового слоя.

Шаровой сектор

Шаровым сектором называется геометрическое тело, полученное при вращении кругового сектора (с углом меньше 90) вокруг оси, содержащей один из боковых радиусов. Дополнение такого тела до шара также называется шаровым сектором. Таким образом, шаровой сектор состоит из шарового сегмента и конуса, либо из шарового сегмента без конуса (рис. 12.43 а, б).

а) б)

Рис. 12.43

Для шарового сектора верны формулы:

где S – площадь поверхности шарового сектора; R – радиус шара; r – радиус основания сегмента; h – высота шарового сегмента; V – объем шарового сектора.

Пример 1.Радиус шара разделили на три равные части. Через точки деления провели два сечения, перпендикулярные радиусу. Найти площадь сферического пояса, если радиус шара равен 15 см.

Решение.Сделаем рисунок (рис. 12.44).

Рис. 12.44

Для того чтобы вычислить площадь сферического пояса, надо знать радиус шара и высоту. Радиус шара известен, а высоту найдем, зная, что радиус разделен на три равные части:

Тогда площадь

Пример 2. Шар пересечен двумя параллельными плоскостями, проходящими перпендикулярно диаметру и по разные стороны от центра шара. Площади сферических сегментов равны 42 см² и 70 см². Найти радиус шара, если расстояние между плоскостями равно 6 см.

Решение. Рассмотрим два сферических сегмента с площадями: гдеR – радиус шара (сферы), h, H – высоты сегментов. Получим уравнения: иИмеем два уравнения с тремя неизвестными. Составим еще одно уравнение. Диаметр шара равенРешим систему:

Из двух первых уравнений системы выражаем:

подставляем в третье уравнение системы: Решаем полученное уравнение: получаем

По условию задачи подходит значение

Пример 3. Сечение шара плоскостью, перпендикулярной его диаметру, делит диаметр в отношении 1 : 2. Во сколько раз площадь сечения меньше площади поверхности шара?

Решение. Сделаем рисунок (рис. 12.45).

Рассмотрим диаметральное сечение шара: AD – диаметр, O – центр, OE=R – радиус шара, BE – радиус сечения, перпендикулярного диаметру шара,

Выразим BE через R:

Из  OBE выразим BE через R:

Рис. 12.45

Площадь сечения площадь поверхности шараПолучаем отношение

Следовательно, S₁ меньше S₂ в 4,5 раза.

Пример 4. В шаре, радиус которого 13 см, проведены два взаимно перпендикулярных сечения на расстоянии 4 см и 12 см от центра. Найти длину их общей хорды.

Решение. Сделаем рисунок (рис. 12.46).

Рис. 12.46

Сечения перпендикулярны, так как OO₂ – расстояние и OO₁ – расстояние. Таким образом, и OC – диагональ прямоугольника OO₂CO₁ и равна

 O₁AB – равнобедренный (O₁A = O₁B – радиусы), тогда перпендикуляр O₁C является и медианой AC = CB.

Рассмотрим  OAC: OA – радиус шара, (OCAC по теореме о трех перпендикулярах). Находим:

Общая хорда сечений

Получаем ответ: 6 см.

Пример 5. Площадь осевого сечения шарового сектора в три раза меньше площади большого круга шара. Найти отношение объемов сектора и шара.

Решение.Сделаем рисунок (рис. 12.47).

Рис. 12.47

Рассмотрим осевое сечение шара. Осевое сечение шарового сектора – это круговой сектор, площадь которого составляет площади круга. Значит, центральный угол равен 120, следовательно, Шаровой сектор можно рассматривать как тело, полученное при вращении сектораАОВ вокруг бокового радиуса ОВ. Высотой данного сектора служит отрезок СВ. Объем сектора вычисляется по формуле объем шара –

Из АОС (ОА – радиус) выразим Таким образом,Следовательно,Сравнивая объемы сектора и шара, получаем, чтоV_c : V_ш = 1 : 4.

Получаем ответ: 1 : 4.

Задания