- •22. Дифференциальные уравнения
- •22.1. Дифференциальные уравнения первого
- •I уровень
- •II уровень
- •III уровень
- •22.2. Однородные дифференциальные
- •I уровень
- •II уровень
- •III уровень
- •22.3. Линейные уравнения. Уравнение Бернулли
- •I уровень
- •II уровень
- •III уровень
- •22.4. Уравнения в полных дифференциалах
- •I уровень
- •II уровень
- •III уровень
- •22.5. Понятие дифференциальных уравнений
- •I уровень
- •II уровень
- •III уровень
- •22.6. Линейные однородные дифференциальные
- •I уровень
- •II уровень
- •III уровень
- •22.7. Линейные неоднородные дифференциальные
- •I уровень
- •II уровень
- •III уровень
- •22.8. Системы дифференциальных уравнений
- •22.9. Системы линейных однородных
- •I уровень
- •II уровень
- •III уровень
- •Содержание
I уровень
1.1.Решите уравнение:
1) 2)
3) 4)
1.2.Решите задачу Коши:
1)
2)
3)
1.3. Найдите общее решение уравнения методом Лагранжа:
1) 2)
II уровень
2.1.Найдите общее решение уравнения методом Лагранжа:
1) 2)
3) 4)
2.2. Решите уравнение:
1) 2)
3) 4)
2.3. Решите задачу Коши:
1)
2)
3)
4)
2.4.Укажите вид частного решения дифференциального уравнения:
1) 2)
3) 4)
III уровень
3.1.Решите уравнение:
1) 2)
3) 4)
3.2.Найдите общее решение методом Лагранжа:
1) 2)
3) 4)
22.8. Системы дифференциальных уравнений
Система дифференциальных уравнений вида
(22.73)
где – искомые функции переменнойx, называетсянормальной системой.
Совокупность nфункцийудовлетворяющих каждому уравнению системы (22.73), называетсярешениемэтойсистемы.
Задача Кошидля системы (22.73) состоит в нахождении решения этой системы, удовлетворяющегоначальным условиям:…,
Основные методы интегрирования нормальных систем (22.73) –метод исключения и метод интегрируемых комбинаций.
Метод исключения
Этот метод позволяет свести нормальную систему из nлинейный дифференциальных уравнений к одному линейному дифференциальному уравнениюn-го порядка относительно одной неизвестной функции.
Метод интегрируемых комбинаций
Метод заключается в том, что посредством арифметических операций из уравнений системы (22.73) получают легко интегрируемые уравнения относительно новой неизвестной функции.
Пример 1. Решить систему:
1) 2)3)
Решение. 1) Используем метод исключения. Дифференцируем первое уравнение системы по x:
Подставив в полученное уравнение из второго уравнения системы выражение вместо имеем:
или
(22.74)
Последнее уравнение – линейное неоднородное дифференциальное уравнение 2-го порядка со специальной правой частью. Его соответствующее однородное уравнение:
Характеристическое уравнение последнего:
корни которого Тогда общее решение однородного уравнения:
Ищем частное решение полученного неоднородного уравнения (22.74) в виде
где A, B – неопределенные коэффициенты.
Вычисляем производные:
Подставляем их в уравнение (22.74), группируем относительно sin x и cos x, приравниваем коэффициенты.
Получаем систему из которой находим
Общее решение дифференциального уравнения 2-го порядка:
(22.75)
Возвращаемся к первому уравнению заданной системы, из которого выражаем
Подставляя в это уравнение продифференцированное общее решение (22.75), получим:
(22.76)
Функции (22.75) и (22.76) составляют общее решение заданной системы.
2) Применим метод исключения. Выразим из первого уравнения системы
Отсюда, дифференцируя по x, получим:
Подставим правую часть полученного равенства вместо во второе уравнение системы:
или
Получили однородное дифференциальное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами. Его характеристическое уравнение: решая которое, находим:– корень кратности 2.
Тогда
Продифференцируем функцию
Возвращаясь к первому уравнению системы, имеем:
Упрощаем:
Таким образом, получаем общее решение заданной системы:
3) Используем метод исключения. Дифференцируем первое уравнение системы:
Подставив в него выражения для ииз 2-го и 3-го уравнений системы, получим линейное однородное дифференциальное уравнение 2-го порядка:Его характеристическое уравнение имеет вид:корни которого– простые комплексно-сопряженные. Тогда общим решением однородного дифференциального уравнения будет:
Из третьего уравнения системы получаем:
Подставим в него найденное выражение для получим линейное неоднородное дифференциальное уравнение 1-го порядка:
(22.77)
Решим его методом Эйлера. Характеристическое уравнение соответствующего однородного корень которогоТогда общее решение соответствующего однородного:
Частное решение неоднородного дифференциального уравнения ищем в виде
где A, B – неопределенные коэффициенты.
Вычисляем и подставляем в неоднородное уравнение (22.77).
Для определения A и B приходим к системе
из которой находим
Тогда получаем:
Из первого уравнения заданной системы выразим
Подставим в это равенство найденные иполучим:
Таким образом, получено решение заданной системы дифференциальных уравнений:
Пример 2. Методом интегрируемых комбинаций решить систему
Решение. Воспользуемся методом интегрируемых комбинаций. Сложив оба уравнения системы, получим:
или
Обозначим гдеполучим:– уравнение с разделяющимися переменными. Запишем его в виде
или
Отсюда находим Возвращаемся к старым переменным:
Выразим теперь y через x:
Продифференцируем это равенство и подставим вместо во 2-е уравнение системы:
После подстановки:
или – это линейное уравнение 1-го порядка. Решим его методом Бернулли.
Пусть тогда
Отсюда тогда
Это и есть общее решение исходной системы.