I уровень

1.1.Докажите, что данная функция является решением соответствующего дифференциального уравнения:

1)

2)

3)

4)

1.2.Решите уравнение:

1) 2)3)

4) 5)6)

1.3. Найдите частное решение уравнения:

1) 2)

3) 4)

II уровень

2.1.Докажите, что заданная неявно функция является решением соответствующего дифференциального уравнения:

1)

2)

3)

4)

2.2.Решите уравнение:

1) 2)

3) 4)

2.3.Решите задачу Коши:

1) 2)

3) 4)

5)

2.4.Докажите, что параметрически заданная функцияявляется решением уравнения

2.5.Докажите, что соотношениеявляется общим решением (общим интегралом) дифференциального уравненияОпределите частные решения (частные интегралы), если интегральные кривые проходят через точки (0, 0), (0, – 1) и (2, 1), постройте эти кривые.

III уровень

3.1.Постройте интегральные кривые дифференциального уравнения:

1) 2)

3) 4)

3.2.Составьте дифференциальное уравнение заданных семейств кривых:

1) 2)

3) 4)

3.3.Составьте дифференциальное уравнение семейства окружностей с общим центромO(3, 1).

3.4.Составьте дифференциальное уравнение семейства парабол, которые проходят через точку (1, 0) и для которых ось абсцисс является осью симметрии.

3.5.Материальная точка движется по прямой со скоростью, обратно пропорциональной пройденному пути. В начальный момент движения точка находилась на расстоянии 2 м от начала отсчета пути и имела скорость 30 м/с. Найдите пройденный путь и скорость точки через 10 с после начала движения.

22.2. Однородные дифференциальные

уравнения. Уравнения, сводящиеся

к однородным

Дифференциальное уравнение вида

(22.7)

называют однородным, если обе функции иявляются однородными функциями одной и той же степениn, т. е. для параметра t выполняются:

Однородное уравнение может быть сведено к виду

(22.8)

где – некоторое выражение относительно

Для решения однородного уравнения его сводят вначале к виду (22.8), а затем заменяют гдеЭтой заменой дифференциальное уравнение (22.8) приводится к уравнению с разделяющимися переменными. Иногда целесообразнее сделать заменугде

Дифференциальное уравнение вида

(22.9)

при определенных значениях сводится к однородному уравнению. Рассмотрим три возможных случая коэффициентов:

1. Если то делают замену переменных:

(22.10)

где числа инаходят как решение системы уравнений

(22.11)

Этой заменой дифференциальное уравнение (22.9) сводится к уравнению

Далее его решают как однородное.

2. Если то уравнение (22.9) записывают в виде

и затем заменяют гдеЭта замена приводит к дифференциальному уравнению с разделяющимися переменными.

3. Если то имеем

т. е. Далее интегрируют.

Пример 1. Решить уравнение:

1) 2)

3)

Решение. 1) Так как

то и– однородные функции первой степени.

Делаем замену. Очевидно, что делением на уравнение сводится к видут. е.илиЗаменяемгдеоткудаиПодставляя в исходное дифференциальное уравнение, получаем: т. е.

Разделяем переменные (при условии ):Интегрируем:илиОтсюда

Возвращаемся к старым переменным, подставляем вместо z выражение Тогда общий интеграл исходного дифференциального уравнения имеет вид:

Рассмотрим отдельно возможные решения икоторые мы исключали. В последнем случае имеемт. е.Подставляемив заданное дифференциальное уравнение и убеждаемся, что они также являются его решениями. При этом решениесодержится в формуле общего интеграла приРешениене содержится в полученной формуле общего интеграла. Поэтому окончательное решение:

2) Разделив дифференциальное уравнение на x получаем:– это однородное дифференциальное уравнение. После заменыгдеимеем

Далее приводим подобные и разделяем переменные, считая т. е.ПолучаемИнтегрируем и получаем

Возвращаемся к старым переменным, получаем общее решение:

Анализируем, являются ли решениями ит. е.Подставляемв заданное дифференциальное уравнение и убеждаемся, чтоне является решением заданного дифференциального уравнения, аявляются решениями, которые не входят в полученное общее решение. Приходим к решению исходного дифференциального уравнения:

3) Запишем заданное уравнение в виде

Делим его на y

(22.12)

Делаем замену гдет. е.иПосле подстановки в уравнение (22.12) получаем:

т. е.

После упрощения имеем

Делим переменные:

Интегрирование дает:

или

Возвращаемся к старым переменным, используя Тогда общий интеграл имеет вид:

Пример 2. Решить задачу Коши:

1)

2)

Решение. 1) Это однородное уравнение. Разделив заданное уравнение на получаем:

Делаем замену где

или, приведя подобные,

Разделяем переменные:

Интегрируем последнее уравнение:

т. е., используя свойства логарифма, имеем

Возвращаясь к старым переменным, получаем: – общий интеграл исходного уравнения.

Подставляем в него начальные условия и находимС:

или

Значит, решением задачи Коши является

2) Это уравнение однородное. Разделив его на x получаем:

Делаем замену где

Приводим подобные:

или

Разделяем переменные, считая

(22.13)

Далее интегрируем уравнение (22.13) и получаем:

Используем свойства логарифма и получаем:

Возвращаемся к старым переменным:

или

Отсюда получаем:

–общий интеграл заданного уравнения. Подставив в него начальные условия: получим

Решение задачи Коши:

Пример 3. Найти решение дифференциального уравнения:

1) 2)3)

Решение. 1) Это уравнение не является однородным, но сводится к однородному дифференциальному уравнению. Так как т. е.сделаем замену переменных по формуле (22.10):

(22.14)

Числа инайдем из системы уравнений (22.11):

откуда

Тогда система уравнений (22.14) примет вид

Подставив эту замену в заданное уравнение, получим:

или

–однородное дифференциальное уравнение.

Сделаем замену переменных: гдеПодставив ее в последнее уравнение, получим:

или

Разделим переменные, полагая получим:

Преобразуем дробное выражение представив его в виде суммы простейших дробей:

Тогда получаем:

Интегрируем последнее уравнение:

Возвращаемся к старым переменным:

После упрощения получаем: – общий интеграл заданного дифференциального уравнения.

Кроме того, решением исходного дифференциального уравнения будет илии

Решение входит в общий интеграл приС = 0. Таким образом, искомое решение дифференциального уравнения

2) Так как то заданное уравнение приводится к уравнению .

Заменяем где

Получим:

Разделяем переменные:

или (считаем), т. е.

Интегрируем:

Возвращаемся к старым переменным и получаем общий интеграл:

Кроме того, решением исходного дифференциального уравнения будет илит. е.Таким образом, искомое решение дифференциального уравнения:

3) Так как т. е.то заданное уравнение сводится к уравнению

После сокращения имеем Интегрируем и получаем общее решение исходного дифференциального уравнения:

Задания