- •22. Дифференциальные уравнения
- •22.1. Дифференциальные уравнения первого
- •I уровень
- •II уровень
- •III уровень
- •22.2. Однородные дифференциальные
- •I уровень
- •II уровень
- •III уровень
- •22.3. Линейные уравнения. Уравнение Бернулли
- •I уровень
- •II уровень
- •III уровень
- •22.4. Уравнения в полных дифференциалах
- •I уровень
- •II уровень
- •III уровень
- •22.5. Понятие дифференциальных уравнений
- •I уровень
- •II уровень
- •III уровень
- •22.6. Линейные однородные дифференциальные
- •I уровень
- •II уровень
- •III уровень
- •22.7. Линейные неоднородные дифференциальные
- •I уровень
- •II уровень
- •III уровень
- •22.8. Системы дифференциальных уравнений
- •22.9. Системы линейных однородных
- •I уровень
- •II уровень
- •III уровень
- •Содержание
I уровень
1.1.Докажите, что данная функция является решением соответствующего дифференциального уравнения:
1)
2)
3)
4)
1.2.Решите уравнение:
1) 2)3)
4) 5)6)
1.3. Найдите частное решение уравнения:
1) 2)
3) 4)
II уровень
2.1.Докажите, что заданная неявно функция является решением соответствующего дифференциального уравнения:
1)
2)
3)
4)
2.2.Решите уравнение:
1) 2)
3) 4)
2.3.Решите задачу Коши:
1) 2)
3) 4)
5)
2.4.Докажите, что параметрически заданная функцияявляется решением уравнения
2.5.Докажите, что соотношениеявляется общим решением (общим интегралом) дифференциального уравненияОпределите частные решения (частные интегралы), если интегральные кривые проходят через точки (0, 0), (0, – 1) и (2, 1), постройте эти кривые.
III уровень
3.1.Постройте интегральные кривые дифференциального уравнения:
1) 2)
3) 4)
3.2.Составьте дифференциальное уравнение заданных семейств кривых:
1) 2)
3) 4)
3.3.Составьте дифференциальное уравнение семейства окружностей с общим центромO(3, 1).
3.4.Составьте дифференциальное уравнение семейства парабол, которые проходят через точку (1, 0) и для которых ось абсцисс является осью симметрии.
3.5.Материальная точка движется по прямой со скоростью, обратно пропорциональной пройденному пути. В начальный момент движения точка находилась на расстоянии 2 м от начала отсчета пути и имела скорость 30 м/с. Найдите пройденный путь и скорость точки через 10 с после начала движения.
22.2. Однородные дифференциальные
уравнения. Уравнения, сводящиеся
к однородным
Дифференциальное уравнение вида
(22.7)
называют однородным, если обе функции иявляются однородными функциями одной и той же степениn, т. е. для параметра t выполняются:
Однородное уравнение может быть сведено к виду
(22.8)
где – некоторое выражение относительно
Для решения однородного уравнения его сводят вначале к виду (22.8), а затем заменяют гдеЭтой заменой дифференциальное уравнение (22.8) приводится к уравнению с разделяющимися переменными. Иногда целесообразнее сделать заменугде
Дифференциальное уравнение вида
(22.9)
при определенных значениях сводится к однородному уравнению. Рассмотрим три возможных случая коэффициентов:
1. Если то делают замену переменных:
(22.10)
где числа инаходят как решение системы уравнений
(22.11)
Этой заменой дифференциальное уравнение (22.9) сводится к уравнению
Далее его решают как однородное.
2. Если то уравнение (22.9) записывают в виде
и затем заменяют гдеЭта замена приводит к дифференциальному уравнению с разделяющимися переменными.
3. Если то имеем
т. е. Далее интегрируют.
Пример 1. Решить уравнение:
1) 2)
3)
Решение. 1) Так как
то и– однородные функции первой степени.
Делаем замену. Очевидно, что делением на уравнение сводится к видут. е.илиЗаменяемгдеоткудаиПодставляя в исходное дифференциальное уравнение, получаем: т. е.
Разделяем переменные (при условии ):Интегрируем:илиОтсюда
Возвращаемся к старым переменным, подставляем вместо z выражение Тогда общий интеграл исходного дифференциального уравнения имеет вид:
Рассмотрим отдельно возможные решения икоторые мы исключали. В последнем случае имеемт. е.Подставляемив заданное дифференциальное уравнение и убеждаемся, что они также являются его решениями. При этом решениесодержится в формуле общего интеграла приРешениене содержится в полученной формуле общего интеграла. Поэтому окончательное решение:
2) Разделив дифференциальное уравнение на x получаем:– это однородное дифференциальное уравнение. После заменыгдеимеем
Далее приводим подобные и разделяем переменные, считая т. е.ПолучаемИнтегрируем и получаем
Возвращаемся к старым переменным, получаем общее решение:
Анализируем, являются ли решениями ит. е.Подставляемв заданное дифференциальное уравнение и убеждаемся, чтоне является решением заданного дифференциального уравнения, аявляются решениями, которые не входят в полученное общее решение. Приходим к решению исходного дифференциального уравнения:
3) Запишем заданное уравнение в виде
Делим его на y
(22.12)
Делаем замену гдет. е.иПосле подстановки в уравнение (22.12) получаем:
т. е.
После упрощения имеем
Делим переменные:
Интегрирование дает:
или
Возвращаемся к старым переменным, используя Тогда общий интеграл имеет вид:
Пример 2. Решить задачу Коши:
1)
2)
Решение. 1) Это однородное уравнение. Разделив заданное уравнение на получаем:
Делаем замену где
или, приведя подобные,
Разделяем переменные:
Интегрируем последнее уравнение:
т. е., используя свойства логарифма, имеем
Возвращаясь к старым переменным, получаем: – общий интеграл исходного уравнения.
Подставляем в него начальные условия и находимС:
или
Значит, решением задачи Коши является
2) Это уравнение однородное. Разделив его на x получаем:
Делаем замену где
Приводим подобные:
или
Разделяем переменные, считая
(22.13)
Далее интегрируем уравнение (22.13) и получаем:
Используем свойства логарифма и получаем:
Возвращаемся к старым переменным:
или
Отсюда получаем:
–общий интеграл заданного уравнения. Подставив в него начальные условия: получим
Решение задачи Коши:
Пример 3. Найти решение дифференциального уравнения:
1) 2)3)
Решение. 1) Это уравнение не является однородным, но сводится к однородному дифференциальному уравнению. Так как т. е.сделаем замену переменных по формуле (22.10):
(22.14)
Числа инайдем из системы уравнений (22.11):
откуда
Тогда система уравнений (22.14) примет вид
Подставив эту замену в заданное уравнение, получим:
или
–однородное дифференциальное уравнение.
Сделаем замену переменных: гдеПодставив ее в последнее уравнение, получим:
или
Разделим переменные, полагая получим:
Преобразуем дробное выражение представив его в виде суммы простейших дробей:
Тогда получаем:
Интегрируем последнее уравнение:
Возвращаемся к старым переменным:
После упрощения получаем: – общий интеграл заданного дифференциального уравнения.
Кроме того, решением исходного дифференциального уравнения будет илии
Решение входит в общий интеграл приС = 0. Таким образом, искомое решение дифференциального уравнения
2) Так как то заданное уравнение приводится к уравнению .
Заменяем где
Получим:
Разделяем переменные:
или (считаем), т. е.
Интегрируем:
Возвращаемся к старым переменным и получаем общий интеграл:
Кроме того, решением исходного дифференциального уравнения будет илит. е.Таким образом, искомое решение дифференциального уравнения:
3) Так как т. е.то заданное уравнение сводится к уравнению
После сокращения имеем Интегрируем и получаем общее решение исходного дифференциального уравнения:
Задания