I уровень

1.1.Решите уравнение:

1) 2)

3) 4)

1.2.Решите задачу Коши:

1)

2)

3)

1.3. Найдите общее решение уравнения методом Лагранжа:

1) 2)

II уровень

2.1.Найдите общее решение уравнения методом Лагранжа:

1) 2)

3) 4)

2.2. Решите уравнение:

1) 2)

3) 4)

2.3. Решите задачу Коши:

1)

2)

3)

4)

2.4.Укажите вид частного решения дифференциального уравнения:

1) 2)

3) 4)

III уровень

3.1.Решите уравнение:

1) 2)

3) 4)

3.2.Найдите общее решение методом Лагранжа:

1) 2)

3) 4)

22.8. Системы дифференциальных уравнений

Система дифференциальных уравнений вида

(22.73)

где – искомые функции переменнойx, называетсянормальной системой.

Совокупность nфункцийудовлетворяющих каждому уравнению системы (22.73), называетсярешениемэтойсистемы.

Задача Кошидля системы (22.73) состоит в нахождении решения этой системы, удовлетворяющегоначальным условиям:…,

Основные методы интегрирования нормальных систем (22.73) –метод исключения и метод интегрируемых комбинаций.

Метод исключения

Этот метод позволяет свести нормальную систему из nлинейный дифференциальных уравнений к одному линейному дифференциальному уравнениюn-го порядка относительно одной неизвестной функции.

Метод интегрируемых комбинаций

Метод заключается в том, что посредством арифметических операций из уравнений системы (22.73) получают легко интегрируемые уравнения относительно новой неизвестной функции.

Пример 1. Решить систему:

1) 2)3)

Решение. 1) Используем метод исключения. Дифференцируем первое уравнение системы по x:

Подставив в полученное уравнение из второго уравнения системы выражение вместо имеем:

или

(22.74)

Последнее уравнение – линейное неоднородное дифференциальное уравнение 2-го порядка со специальной правой частью. Его соответствующее однородное уравнение:

Характеристическое уравнение последнего:

корни которого Тогда общее решение однородного уравнения:

Ищем частное решение полученного неоднородного уравнения (22.74) в виде

где A, B – неопределенные коэффициенты.

Вычисляем производные:

Подставляем их в уравнение (22.74), группируем относительно sin x и cos x, приравниваем коэффициенты.

Получаем систему из которой находим

Общее решение дифференциального уравнения 2-го порядка:

(22.75)

Возвращаемся к первому уравнению заданной системы, из которого выражаем

Подставляя в это уравнение продифференцированное общее решение (22.75), получим:

(22.76)

Функции (22.75) и (22.76) составляют общее решение заданной системы.

2) Применим метод исключения. Выразим из первого уравнения системы

Отсюда, дифференцируя по x, получим:

Подставим правую часть полученного равенства вместо во второе уравнение системы:

или

Получили однородное дифференциальное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами. Его характеристическое уравнение: решая которое, находим:– корень кратности 2.

Тогда

Продифференцируем функцию

Возвращаясь к первому уравнению системы, имеем:

Упрощаем:

Таким образом, получаем общее решение заданной системы:

3) Используем метод исключения. Дифференцируем первое уравнение системы:

Подставив в него выражения для ииз 2-го и 3-го уравнений системы, получим линейное однородное дифференциальное уравнение 2-го порядка:Его характеристическое уравнение имеет вид:корни которого– простые комплексно-сопряженные. Тогда общим решением однородного дифференциального уравнения будет:

Из третьего уравнения системы получаем:

Подставим в него найденное выражение для получим линейное неоднородное дифференциальное уравнение 1-го порядка:

(22.77)

Решим его методом Эйлера. Характеристическое уравнение соответствующего однородного корень которогоТогда общее решение соответствующего однородного:

Частное решение неоднородного дифференциального уравнения ищем в виде

где A, B – неопределенные коэффициенты.

Вычисляем и подставляем в неоднородное уравнение (22.77).

Для определения A и B приходим к системе

из которой находим

Тогда получаем:

Из первого уравнения заданной системы выразим

Подставим в это равенство найденные иполучим:

Таким образом, получено решение заданной системы дифференциальных уравнений:

Пример 2. Методом интегрируемых комбинаций решить систему

Решение. Воспользуемся методом интегрируемых комбинаций. Сложив оба уравнения системы, получим:

или

Обозначим гдеполучим:– уравнение с разделяющимися переменными. Запишем его в виде

или

Отсюда находим Возвращаемся к старым переменным:

Выразим теперь y через x:

Продифференцируем это равенство и подставим вместо во 2-е уравнение системы:

После подстановки:

или – это линейное уравнение 1-го порядка. Решим его методом Бернулли.

Пусть тогда

Отсюда тогда

Это и есть общее решение исходной системы.