I уровень

1.1. Решите уравнение:

1) 2)

3) 4)

1.2.Решите задачу Коши:

1)

2)

3)

II уровень

2.1.Решите уравнение:

1) 2)

3)

2.2. Решите задачу Коши:

1)

2)

3)

III уровень

3.1.Определите тип дифференциального уравнения и решите его:

1) 2)

3) 4)

5) 6)

22.5. Понятие дифференциальных уравнений

высших порядков. Дифференциальные

уравнения, допускающие понижение порядка

Дифференциальным уравнением n-го порядка,называется уравнение вида

(22.43)

Если уравнение (22.43) можно разрешить относительно старшей производной, то дифференциальное уравнение n-го порядка имеет вид:

(22.44)

Решением дифференциального уравнения n-го порядка является всякаяnраз дифференцируемая функциякоторая обращает данное уравнение в тождество. Задача нахождения решенияудовлетворяющего начальным условиям

где – заданные числа, называетсязадачей Коши.

Общим решением уравнения (22.43) называется функция

(22.45)

где – произвольные постоянные.

Типы уравнений, допускающие понижение порядка

Уравнение вида

(22.46)

или разрешенное относительно n-й производной

(22.47)

решается последовательным интегрированием nраз.

Уравнение вида

(22.48)

не содержащее явно искомой функции yи первых ()-х ее производных,решают с помощью заменыгдеТаким образом, порядок исходного уравнения (22.48) понижается наkединиц.

Приходят к уравнению

Полученное уравнение решают далее в зависимости от его типа.

Уравнение вида

(22.49)

не содержащее явно независимой переменной x, решают с помощью замены

где

Этой заменой порядок исходного уравнения понижается на единицу, поскольку (функциюz(y) дифференцировали поxкак сложную). Аналогично выражаюти т. д.

Уравнение вида

(22.50)

называется однороднымотносительно искомой функцииyи ее производныхесли функцияFоднородна относительнот. е.

где m– степень однородности,

–произвольное число.

Для решения используется замена гдепонижающая порядок исходного уравнения на единицу.

Пример 1. Найти общее решение уравнения:

1) 2)

3) 4)

Решение. 1) Заданное уравнение имеет 3-й порядок. Это дифференциальное уравнение типа (22.47). Проинтегрируем последовательно три раза:

–произвольные постоянные. Полученная функция и есть общее решение исходного уравнения.

2) Это уравнение 2-го порядка, не содержащее явно искомой функции y, т. е. типа (22.48). Делаем замену гдеДифференцируем замену еще раз, получаемПодставляем выраженияив исходное уравнение:

(22.51)

Получили уравнение с разделяющимися переменными:

В результате интегрирования имеем: откуда – общее решение уравнения (22.51).

Возвращаемся к старым переменным:

–уравнение первого порядка. Интегрируем его:

Получаем – общее решение исходного уравнения.

3) Это уравнение 2-го порядка, не содержащее явно независимой переменной x, т. е. типа (22.49). Делаем замену гдеДифференцируем замену поx как сложную функцию, получаем: Подставляем выражения дляив исходное уравнение:

(22.52)

Уравнение (22.52) – это уравнение с разделяющимися переменными. Решаем его:

или

Далее интегрируя, имеем:

откуда

–общее решение уравнения (22.52).

Возвращаемся к старым переменным, получаем – уравнение с разделяющимися переменными. Тогда

или

Интегрируем:

или – общее решение исходного дифференциального уравнения.

4) Это уравнение 2-го порядка, однородное относительно итак как

где – произвольное число.

Это уравнение типа (22.50). Делаем замену гдеотсюда получаем:

(22.53)

Дифференцируем это равенство еще раз:

С учетом (22.53) получаем:

Подставляем выражения для ив исходное уравнение:

Делим его на

После упрощения имеем уравнение

Делим его почленно на

(22.54)

Получили линейное уравнение 1-го порядка. Решаем его, например, методом Бернулли:

Тогда (22.54) примет вид:

т. е.

Полагаем откуда

Интегрирование приводит к равенству

Тогда имеем:

–искомая функция v.

Далее имеем:

т. е. что означает

Отсюда

Возвращаемся к старым переменным:

или

Интегрируем:

используя свойства логарифма, получаем:

или

Таким образом, – общее решение исходного уравнения.

Пример 2. Найти частное решение уравнения:

1)

2)

3)

Решение. 1) Заданное уравнение имеет 2-й порядок. Делаем замену Тогдаи заданное уравнение принимает вид:

Получили дифференциальное уравнение 1-го порядка с разделяющимися переменными. Решаем его:

или

Возвращаясь к старой переменной, получим:

Определим константу из начального условияТогдаилиТаким образом,Интегрируем и получаем:

Определяем из 2-го начального условия:т. е.

Частным решением исходного дифференциального уравнения является функция

2) Это уравнение 2-го порядка, не содержащее явно переменную x. Делаем замену Тогдаи заданное уравнение примет видПолучили уравнение 1-го порядка с разделяющимися переменными. Интегрируем его:

имеем:

или

Возвращаемся к старой переменной:

Определяем используя 2-е начальное условие:

отсюда

Получаем – уравнение 1-го порядка с разделяющимися переменными. Его решение:

или

Определяем константу используя первое начальное условие:

откуда

Тогда частным решением заданного уравнения является функция

3) Это дифференциальное уравнение 4-го порядка типа (22.47). Проинтегрируем его последовательно четыре раза:

Определим константу из начального условияТогдаили

Интегрируем еще раз:

Определяем из начального условия

или

Интегрируем далее:

Из начального условия находим

или

Интегрируем в 4-й раз:

Находим константу из начального условия

или

Тогда частным решением заданного дифференциального уравнения является функция

Задания