i=1

Вероятность правильного приема будет определяться выражением

Вероятность возникновения необнаруженных ошибок оценивается выражением

Пример 3.10. Оценить вероятность ошибочного приема и защитного отказа сообщений, закодированных в циклическом коде (15,7) с d = 5 и позволяющего обнаруживать пакеты ошибок длиной до m = 4, если вероятность иска-

жения элементарной посылки в канале связи P1 =10−2 .

Решение. Вероятность появления обнаруживаемых ошибки определим из выражения (3.57):

Pо.ош = ∑4 C15i P1i (1 − P1 )15−i = C151 P11(1 − P)14 + C152 P12 (1 − P)13 + i=1

+ C153 P13 (1 − P)12 + C154 P14 (1 − P)11 =15 0,01 0,9914 +105 0,012 0,9913 + + 455 0,013 0,9912 +1365 0,014 0,9911 ≈1,4 10−1.

Вероятность ошибочного приема сообщений, пораженных пакетами ошибок, согласно формуле (3.59)

+6435 0,017 (1 − 0,01)8 )≈ 1,05 10−9.

3.7.Помехоустойчивость систем с дублированием сообщений

Дублирование сообщений основано на многократном повторении кодовых неизбыточных сообщений [4]. При приеме кодовые сообщения сравниваются покомбинационно либо поэлементно. Сообщение, принятое одинаковым большее число раз, считается принятым правильно. Такой принцип получил название критерия большинства. Наименьшее число повторений каждого сообщения равно трем.

102

В случае покомбинационного сравнения правильный прием любого со-

общения неизбыточного двоичного кода 2n0 возможен, если все три комбинации приняты без искажений либо две из трех комбинаций не искажены. Вероятность этого события в симметричном канале

Pправ = P3 + C32 P2 (1 − P) = (1 − P1 )3n0 + C32 (1 − P1 )2n0 (1 − (1 − P1 )n0 ), (3.60)

где P – вероятность правильного приема всей кодовой комбинации; P1 – вероятность искажения элементарной посылки.

В общем случае при установленном критерии большинства α (два из трех, три из пяти и т.д.) вероятность правильного приема кодовой комбинации при ее повторении m раз

i=α

где P = (1 − P1 )n0 – вероятность правильного приема кодовой комбинации.

В случае поэлементного сравнения дублируемых кодовых сообщений критерий большинства позволяет определить правильно принятый элемент

(1 или 0).

Вероятность правильного приема всей комбинации при ее трехкратном повторении

где P – вероятность правильного приема одного элемента, соответствующая критерию два из трех.

В общем случае при критерии большинства α для поэлементного сравнения вероятность правильного приема кодовой комбинации при ее повторении m раз

где P1 – вероятность искажения элементарной посылки в симметричном

канале связи.

Вероятность ошибочного приема при комбинационном и поэлементном сравнении дублируемых сообщений

Следует отметить, что увеличение числа повторений кодовой комбинации (обычно нечетное число раз) снижает пропускную способность канала связи

103

из-за введения избыточности и появления значительной задержки передаваемой информации.

Пример 3.11. Определить вероятность ошибочного приема четырехразрядных кодовых комбинаций, передаваемых по симметричному каналу связи с

вероятностью искажения кодового элемента P1 =10−3 , при условии защиты

сообщений трехкратным повторением.

Решение. По выражению (3.60) вероятность правильного приема при покомбинационном сравнении повторяемых сообщений

Pправ* = 0,99912 + С32 0,9998 (1 − 0,9994 )= 0,99994986 .

Вероятность ошибочного приема

Pн*.ош = 1 − Рправ* = 5 10−5 .

Согласно формуле (3.62) вероятность правильного приема при поэлементном сравнении повторяемых сообщений

Pправ** = (0,9993 + С32 0,9992 0,001)4 = 0,9999835 .

Вероятность ошибочного приема Pн*.*ош = 1 − Рправ** = 1,65 10−5 . Таким образом, поэлементное сравнение повторяемых комбинаций снижает вероятность ошибочного приема в три раза.

3.8. Помехоустойчивость систем с обратными каналами связи

Различают системы с применением информационной обратной связи (ИОС) и решающей обратной связи (РОС).

В телемеханических системах с ИОС решение о правильном приеме принимает передающее устройство, которое вырабатывает сигнал, разрешающий выполнение команды только после совпадения сообщения, отправленного по прямому каналу, и этого же сообщения, принятого по обратному каналу. При несовпадении результатов сравнения передающее устройство вырабатывает запрещающий сигнал, стирающий в приемном устройстве искаженное сообщение, и передача сообщения повторяется. В телемеханических устройствах обычно принимается трехкратная передача одного и того же сообщения, после чего вырабатывается сигнал аварии данного канала связи.

Сообщение, передаваемое по обратному каналу связи, называется квитанцией.

104

Всистемах с ИОС ошибочный прием возможен при действии в прямом

иобратном каналах связи помех, которые приводят к так называемым зеркальным искажениям. Они возникают при условии, что квитанция, соответствующая принятому по прямому каналу искаженному сообщению, под воздействием помех в обратном канале трансформируется в квитанцию, соответствующую неискаженному сообщению.

Вероятность появления зеркальных искажений в системе с полной ИОС, рассматриваемых как независимые случайные события в прямом и обратных каналах, равна произведению вероятностей появления ошибок в прямом и обратном каналах.

Если принять действие помех в каналах одинаковым, то вероятность зер-

кальных искажений кратности от 1 по n0 включительно можно оценить выражением

где Р1 – вероятность искажения кодового элемента в обоих каналах.

В системах ИОС возможен ошибочный прием сообщений из-за трансформации в прямом канале служебного сигнала, запрещающего выдачу принятого искаженного информационного, в разрешающий сигнал. Но так как по структуре эти сигналы резко различаются, то вероятность такого события, обусловленная искажением большинства кодовых элементов, пренебрежимо мала.

Пример 3.12. Определить вероятность ошибочного приема четырехразрядных кодовых сообщений, передаваемых по симметричному каналу связи с вероятностью искажения кодового элемента Р1 = 10–3, при условии защиты сообщений ИОС.

Решение. По формуле (3.65) находим, что

4

Pн.ош = ∑C4i (P1i (1 − P1)4−i )2 ≈ i =1

≈ C41 (10−3 0,9993 )2 + C42 (10−6 0,9992 )2 ≈ 3,976 10−6.

Анализируя результаты примеров 3.11 и 3.12, можно сделать вывод, что ИОС по сравнению с методом трехкратного повторения позволяет уменьшить вероятность ошибочного приема более чем в 4 раза.

В системах с РОС решение о верности сообщений устанавливает приемное устройство на основании анализа принимаемой комбинации. Обнаружение ошибок осуществляется с помощью корректирующих кодов. При обнаружении ошибки приемное устройство по обратному каналу передает сигнал переспроса, по которому передающее устройство повторяет сообщение.

105