2.2. Коефіцієнти кореляції та детермінації

Найпростішим критерієм, який дає кількісну оцінку зв’язку між двома показниками, є коефіцієнт кореляції:

r (2.2.1)

Значення коефіцієнта завжди розташовані між –1 та +1

Якщо r_ух = 0, зв’язок між ознаками відсутній;

|r _yx|— щільність зв’язку низька;

0,3 <|r _yx| — щільність зв’язку середня;

0,75 <|r _yx|<1 — щільність зв’язку висока;

r _yx=1 — зв’язок переходить у функціональний;

r _yx<0 — зв’язок зворотний;

r _yx>0 — зв’язок прямий.

Поряд з коефіцієнтом кореляції використовується ще один критерій, за допомогою якого також вимірюється щільність зв’язку між двома або більше показниками та перевіряється адекватність (відповідність) побудованої регресійної моделі реальній дійсності. Таким критерієм є коефіцієнт детермінації (R²):

. (2.2.2)

Частина дисперсії, котра пояснює регресію, називається коефіцієнтом детермінації.

Цей коефіцієнт показує, яка частина загальної варіації залежної (результативної) ознаки (у) обумовлена варіацією незалежної (факторної) ознаки (х), що включена в регресійну модель.

Коефіцієнт детермінації R² завжди додатний і знаходиться в межах від 0 до 1 . [5]

Приклад 2. За даними прикладу 1 оцінити щільність зв’язку між обсягом продажу цукерок фірмою “Світоч” та витратами на рекламу.

Рішення: Розрахунки представимо в таблиці:

№п/п	Хі — витрати на рекламу, млн.грн.	Уі — обсяг продажу, млн. коробок
1 2 3 4 5	5 6 9 12 18	25 30 35 45 65	-5 -1 -1 2 8	-15 -10 -5 5 25	75 40 5 10 200	25 16 1 4 64	225 100 25 25 625
	50 10	200 40	0 0	0 0	330 66	110 22	1000 200

Визначимо коефіцієнт кореляції:

r .

Визначимо коефіцієнт детермінації:

R² = (r _yx)² = (0,995)² = 0,990 або R² = 99%.

Висновок: Коефіцієнт кореляції r_yx=0,995 свідчить про високу щільність зв’язку між обсягом продажу цукерок та витратами на рекламу фірмою “Світоч”, оскільки 0,75<0,995<1. Коефіцієнт детермінації R²=99% показує, що 99% варіації (коливань) результативної ознаки — обсягу продажу цукерок на 99% обумовлено варіацією незалежної (факторної) ознаки — витратами на рекламу і лише 1% варіації обсягу продажу залежить від варіації факторів, що не включені в регресійну модель.

Завдання 5. За даними завдання 2 розрахувати коефіцієнт кореляції між обсягом продажу продукції та сумою, що використана на наукові дослідження в фірмі “Україна”. Визначити коефіцієнт детермінації для регресії. Дати економічну інтерпретацію одержаних результатів.

Завдання 6. За даними завдання 3 оцінити щільність зв’язку між залежною змінною (у) та незалежною змінною (х), розрахувавши коефіцієнти кореляції та детермінації. Зробити висновки.

Завдання 7. За даними завдання 4 дати кількісну оцінку зв’язку між урожайністю зернових та кількістю внесених мінеральних добрив під зернові в ПОК “Зоря” Білозерського району Херсонської області. Зробити висновки.

Завдання 8. Маємо статистику витрат родини залежно від кількості її членів:

Кількість членів родини, осіб, хі	Витрати на відпустку, грош.одиниць, уі
1 2 2 4 6	17 11 23 19 30

1. Побудувати лінійну регресію і розрахувати параметри.

2. Розрахувати коефіцієнт кореляції та детермінації. Які висновки можна зробити щодо якості регресійної моделі?

Завдання 9. Є 4 динамічні ряди. Якщо ці дані апроксимувати простою лінійною регресією, то вони дадуть однакові результати. Побудувати графіки і проаналізувати їх зображення. Побудувати лінійну модель, оцінивши параметри за методом найменших квадратів. Оцінити щільність зв’язку між залежною (у) та незалежною (х) змінними. Пояснити отримані результати.

Х1	У1	Х2	У2	Х3	У3	Х4	У4
10	8,04	10	9,14	10	7,46	8	6,58
14	9,96	14	8,1	14	8,86	8	5,76
5	5,68	5	4,74	5	5,73	8	7,71
8	6,95	8	8,14	8	6,77	8	8,84
9	8,81	9	8,77	9	7,11	8	8,47
12	10,84	12	9,13	12	8,15	8	7,04
4	4,26	4	3,1	4	5,39	8	5,25
7	4,82	7	4,26	7	6,42	19	12,5
11	8,33	11	9,26	11	7,81	8	5,56
13	7,58	13	8,74	13	12,74	8	7,91
6	7,24	6	6,13	6	6,08	8	6,89

Завдання 10. Маємо дані про рівень звільнень на 100 робітників та рівень безробіття у виробничій сфері східного регіону України (дані умовні) протягом 1997-2009 рр.

Примітка: Дані про звільнення стосуються людей, що покинули роботу за власним бажанням.

Рік	Рівень звільнень на 100 робітників, у	Рівень безробіття (%), х
1997	1,3	6,2
1998	1,2	7,8
1999	1,4	5,8
2000	1,4	5,7
2001	1,5	5,0
2002	1,9	4,0
2003	2,6	3,2
2004	2,3	3,6
2005	2,5	3,3
2006	2,7	3,3
2007	2,1	5,6
2008	1,8	6,8
2009	2,2	5,6

1. Нанесіть дані на координатну площину.

2. Припустимо, що рівень звільнень (у) лінійно пов’язаний з рівнем безробіття (х) і цей зв’язок виражається моделлю . Обчисліть параметри .

3. Обчисліть коефіцієнт кореляції та детермінації.

4. Поясніть отримані результати.

Завдання 11. У таблиці подано дані про кількість телефонів на 1000 осіб (у) та валовий внутрішній продукт (ВВП) на душу населення (х) у західному районі України (дані умовні) за 1989-2009 рр. Чи є зв’язок між цими двома змінними? Довести, побудувавши лінійну регресійну модель та обчисливши коефіцієнти кореляції та детермінації. Зробити висновки.

Рік	у	х	Рік	у	х
1989	36	1299	2001	102	3033
1990	37	1365	2002	114	3317
1991	38	1409	2003	126	3487
1992	41	1549	2004	141	3575
1993	42	1416	2005	163	3784
1994	45	1473	2006	196	4025
1995	48	1589	2007	223	4286
1996	54	1757	2008	269	4628
1997	59	1974	2009	291	5038
1998	67	2204
1999	78	2462
2000	90	2723