2. Варіаційні ряди та їхні характеристики

Варіаційні ряди — це ряди даних, які показують кількісну міру певної ознаки у всіх об’єктах однієї сукупності.

Маємо варіаційний ряд: Х₁, Х₂, Х₃, …, Х_К,

де Х_i — числа, які показують зміну (варіацію) ознаки, що вивчається, і називаються варіантами;

і — номер варіанти (і = 1,2,3, …к).

Приклад 1.При обстеженні студентів 1-го курсу за віком було зафіксовано такі дані: 17,18,18,18,18,19,20,20,20,21,21,21,17,18,18,18,19,20,20,20,21,21,21,24.

Якщо впорядкувати ці дані у зростаючому або спадному порядку, то отримаємо ранжований ряд. Числа, які показують, скільки разів (як часто) зустрічаються окремі значення варіант, називаються частотами.

Позначимо частоту і-ї варіанти Х_і через n_i, тоді ранжований дискретний варіаційний ряд запишеться у вигляді:

Варіаційний ряд у загальному вигляді			Варіаційний ряд для прикладу 1
Номер: варіанти	Значення варіанти	Частота варіанти	Номер варіанти	Значення варіанти	Частота варіанти
1 2 . . . К	Х1 Х2 . . . Хк	n1 n2 . . . nк	1 2 3 4 5 6	17 18 19 20 21 24	2 7 2 6 6 1

Для варіаційного ряду є також дві групи характеристик: міри рівнів (середні) та міри розсіяння.

Найбільш поширеними середніми характеристиками для варіаційних рядів є середня арифметична, медіана і мода.

Для дискретного варіаційного ряду середня арифметична розраховується за формулою:

, (1.2.1)

де Х_і — і-та варіанта; n_i — частота і-ої варіанти.

Для інтервального варіаційного ряду середня арифметична розраховується також за формулою (1.2.1), але в ній Х_і— середина кожного інтервалу.

Медіаною називається таке значення ознаки, що вивчається, яке припадає на середину варіаційного ряду. При знаходженні медіани можливі два випадки: кількість членів ряду парна (n=2к) та непарна (n=2к+1).

Якщо всім одиницям (варіантам) дискретного ряду надати порядкові номери, то порядковий номер медіанної варіанти визначається як для ряду з непарною кількістю членів n.

Якщо ж кількість членів ряду є парним числом, то медіаною є середнє значення двох варіант, що мають порядкові номери та .

Знаходження медіани в інтервальному варіаційному ряді потребує визначення інтервалу, в якому вона знаходиться (медіанного інтервалу):

, (1.2.2)

де Ме — медіана;

Х_ме — нижня границя медіанного інтервалу;

h_ме — ширина медіанного інтервалу;

;

де n — кількість інтервалів; n=1+3,322lgN;

N — кількість варіант;

—сума всіх частот (кількість членів ряду);

S_me-1 — сума частот, що накопичені до медіанного інтервалу;

n_me — частота медіанного інтервалу.

Модою називається варіанта, яка найчастіше зустрічається в даному варіаційному ряді. Іншими словами, для дискретного ряду мода дорівнює варіанті з найбільшою частотою.

Розрахунок моди у варіаційних рядах з рівними інтервалами здійснюється за інтерполяційною формулою:

, (1.2.3)

де Мо — мода;

Х_мо — нижня границя модального інтервалу;

h_мо — ширина модального інтервалу;

n_мo-1, n_мo,n_мo+1 — частоти передмодального, модального, післямодального інтервалів, відповідно [1;3;6].

Приклад 2. Для варіаційного дискретного ряду з прикладу 1 розрахувати:

а) середню арифметичну;

б) медіану;

в) моду

Рішення: а) Середня арифметична:

років.

Тобто, середній вік студентської групи 1 курсу становить 18,79 років.

б) медіана:

років.

в) мода:

Мо=18 років.

Мірами розсіяння варіант у варіаційних рядах є дисперсія ():

, (1.2.4)

де х_i — i-та варіанта у дискретному ряді або середина кожного інтервалу в інтервальному ряді;

—середня арифметична;

n_i — частота варіанти або інтервалу;

Середнє квадратичне відхилення ():

; (1.2.5)

Коефіцієнт варіації (V):

. (1.2.6)

Приклад 3. Для варіаційного дискретного ряду з прикладу 1 розрахувати:

а) дисперсію;

б) середнє квадратичне відхилення;

в) коефіцієнт варіації.

Рішення:

Значення варіанти, хі	Частота варіанти, ni
17 18 19 20 21 24	2 7 2 6 6 1	-1,79 0,79 0,21 1,21 2,21 5,21	3,204 0,624 0,044 1,464 4,884 27,144	6,408 4,369 0,088 8,785 29,305 27,144
Разом	24	Х	х	76,099

а) дисперсія:

;

б) середнє квадратичне відхилення:

років;

в) коефіцієнт варіації:

.

Завдання 1. У випадковому порядку було відібрано 60 особистих карток студентів і виписані їх екзаменаційні оцінки з вищої математики:

4,4,2,3,5,3,5,4,3,3,4,2,4,3,5,4,4,3,3,

2,2,3,4,5,4,3,3,2,4,4,3,4,3,3,4,2,3,3,3,5,3,

3,3,4,5,2,4,3,3,3,4,4,2,3,5,4,3,5,4,3.

Побудувати варіаційний ряд розподілу студентів з успішності.

Визначити моду, медіану, середній бал, дисперсію, середнє квадратичне відхилення, коефіцієнт варіації.

Завдання 2. У випадковому порядку було відібрано 100 клубнів картоплі та визначено вагу кожного клубня в грамах:

112, 210, 133, 215, 206, 80, 197, 134, 145, 183,251, 53, 142, 120, 177, 159, 111, 185, 200, 191, 96, 205, 138, 213, 209, 77, 201, 131, 148, 180, 260, 50, 146, 117, 180, 156, 116, 181, 203, 188, 81, 120, 135, 220, 144, 152, 150, 110, 118, 140, 125, 208, 134, 214, 209, 85, 195, 136, 143, 181, 256, 59, 142, 122, 177, 160, 114, 183, 199, 197, 101, 202, 142, 218, 209, 79, 206, 137, 148, 180, 259, 65, 82, 88, 117, 180, 68, 117, 181, 202, 188, 94, 113, 135, 220, 144, 59, 69, 100, 91.

Побудувати інтервальний ряд розподілу клубнів за вагою, утворивши при цьому 7-8 інтервалів. Для кожного інтервалу підрахувати локальні та накопичені частоти. Визначити моду, медіану середню, дисперсію, середнє квадратичне відхилення, коефіцієнт варіації.

Завдання 3. За умовними даними середнього надою за рік від однієї корови по 20 передових господарствах регіону (дані в центнерах): 24,8; 25,9; 36,3; 41,8; 29,2; 39,6; 41,5; 51,8; 44,3; 49,5; 48,0; 36,4; 39,8; 41,6; 28,4; 49,1; 40,3; 39,6; 44,8; 53,6 побудувати варіаційний інтервальний ряд розподілу. Для кожного інтервалу ряду підрахувати локальні та накопичені частоти. Визначити моду, медіану, середню, дисперсію, середнє квадратичне відхилення, коефіцієнт варіації.

Завдання 4. На основі вихідних даних:

Групи робітників за величиною місячної заробітної плати, грн.	Кількість робітників, осіб
140 — 160 160 — 180 180 — 200 200 — 220 220 — 240	10 15 45 20 10
Разом	100

розрахувати показники міри рівнів (середні) та міри розсіяння.