МАТЕМАТИКА (ІДЗ) / Rozdil2_11

11. ЗАСТОСУВАННЯ ОЗНАЧЕНОГО ІНТЕГРАЛА

ДО ОБЧИСЛЕННЯ ДОВЖИНИ ДУГИ,

ОБ’ЄМУ ТІЛА ТА ПЛОЩІ ПОВЕРХНІ

1. Довжина дуги кривої. Якщо гладка крива задана рівнянням, то довжина її дуги дорівнює

(2.18)

де і - абсциси кінців дуги.

Якщо крива задана параметричними рівняннями

то

(2.19)

Аналогічно обчислюється довжина дуги просторової кривої, заданої параметричними рівняннями

Якщо задане рівняння гладкої кривої в полярній системі координат то

(2.20)

2. Об’єм тіла. Якщо площа поперечного перерізу тіла

площиною, перпендикулярною осі є неперервною функцією на

відрізку то об’єм тіла обчислюється за формулою

(2.21)

Якщо криволінійна трапеція, обмежена кривою ,

обертається навколо осі то об’єм тіла обертання

обчислюється за формулою

(2.22)

3. Площа поверхні обертання. Площа поверхні, утвореної від обертання навколо осі дуги кривої, заданої функцією обчислюється за формулою

(2.23)

АР-2.11

Обчислити довжину дуги:

1. від до

2. (першого витка).

3. від до

4. Обчислити об’єм тіла, утвореного від обертання навколо осі фігури, обмеженої лініями

5. Обчислити об’єм тіла, обмеженого поверхнею

6. Обчислити площу поверхні, утвореної від обертання навколо осі дуги кривої від до

(Відповідь: 1. 2.

3. 4. 5. 6. ).

СР-2.11

1. Обчислити довжину дуги

а) від до

б) від до

в) від до

2. Обчислити об’єм циліндричного клину за розмірами, вказаними на рис.2.6.

Рис.2.6 Рис.2.7

3. Обчислити площу поверхні, утвореної від обертання одної арки циклоїди навколо осі

(Відповідь: 1. а) б) в)

3. ).

ІДЗ-2.11

1. Обчислити довжину дуги.

1.1. а) від до б)

1.2. а) від до б)

1.3. а) б)

1.4. а) б)

1.5. а) б)

1.6. а) б)

1.7. а) б) (петля).

1.8. а) б)

1.9. а)б) 1.10.а) б)

1.11.а) б)

1.12.а) б)

1.13.а) б)

1.14.а) б)

1.15.а) б)

1.16.а) б)

1.17.а) б)

1.18.а) б)

1.19.а) б)

1.20.а)б)

1.21.а) б)

1.22.а) б)

1.23.а) б)

.

1.24.а) б)

.

1.25.а) б)

1.26.а) б)

1.27.а) б)

1.28.а) б)

1.29.а) б)

а) 1.30.а) б)

2. Обчислити об’єм тіла, обмеженого поверхнями.

2.1.

2.2.

2.3.

2.4.

2.5.

2.6.

2.7.

2.8.

2.9.

2.10.

2.11.

2.12.

2.13.

2.14.

2.15.

2.16.

2.17.

2.18.

2.19.

2.20.

2.21.

2.22.

2.23.

2.24.

2.25.

2.26.

2.27.

2.28.

2.29.

2.30.

3. Обчислити площу поверхні обертання.

3.1. навколо

3.2. навколо

3.3. навколо

3.4. навколо

3.5. навколо

3.6. навколо

3.7. навколо

3.8. навколо

3.9. навколо

3.10. навколо

3.11. навколо

3.12. навколо

3.13. навколо

3.14. навколо

3.15. навколо

3.16. навколо

3.17. навколо

3.18. навколо

3.19. навколо

3.20. навколо

3.21. навколо

3.22. навколо

3.23. навколо

3.24. навколо

3.25. навколо

3.26. навколо

3.27. навколо

3.28. навколо

3.29. навколо

3.30. навколо

РОЗВ’ЯЗОК ТИПОВОГО ВАРІАНТА

1. Обчислити довжину дуги:

а)

б)

а) Знайдемо

12

Тоді

б) Знайдемо

Тоді

2. Знайти об’єм тіла, обмеженого поверхнею

Задана поверхня є еліпсоїд. Якщо перетинати еліпсоїд площинами, паралельними до координатної площини (наприклад ), то в перетинах будуть утворюватися еліпси

або

Півосі еліпса дорівнюють

Площа еліпса

Тоді

3. Обчислити площу поверхні обертання фігури

навколо (рис.2.7).

Знайдемо та

Тоді

128