Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Хмельницкий национальный университет

Предмет:

Математика

Файл:

МАТЕМАТИКА (ІДЗ) / Rozdil2_12

.doc

Скачиваний:

Добавлен:

23.02.2016

Размер:

1.58 Mб

Скачать

☆

2.12. ЗАСТОСУВАННЯ ОЗНАЧЕНОГО ІНТЕГРАЛА

ДО РІЗНИХ ЗАДАЧ ФІЗИКИ ТА МЕХАНІКИ

Моменти інерції і центри мас плоских кривих. Якщо

дуга кривої задана рівнянням і має густину

то моменти інерції цієї дуги і відносно координатних осей і обчислюються за формулами

(2.24) (2.25)

а координати центра мас - за формулами

(2.26)

(2.27)

де - маса дуги, тобто

(2.28)

Фізичні задачі. Шлях, пройдений тілом зі швидкістю за відрізок часу обчислюється інтегралом

(2.29)

Робота змінної сили що діє вздовж осі на відрізку

обчислюється за допомогою інтеграла

(2.30)

АР-2.12

Знайти координати центра ваги дуги
Знайти координати центра ваги фігури, обмеженої лініями

Обчислити силу, з якою вода тисне на греблю, що має форму трапеції з верхньою основою , нижньою та висотою якщо

вода доходить до верхньої основи.

Обчислити роботу, яку необхідно виконати, щоб викачати воду з

циліндричної цистерни, що має радіус і висоту

5. Прямокутна пластинка зі сторонами та обертається навколо

сторони з постійною кутовою швидкістю Знайти кінетичну енергію пластинки. Товщина пластинки густина матеріалу

(Відповідь: 1. 2.

3. 4. 5.).

СР-2.12

Знайти координати центра ваги дуги астроїди (в 1 чверті).
Пластинка в формі параболічного сегмента (рис.2.8) обертається

навколо осі параболи з постійною кутовою швидкістю . Основа

сегмента висота товщина пластинки густина матеріалу Знайти кінетичну енергію пластинки.

Куля радіусом з густиною занурена в воду так, що дотикається поверхні. Яку роботу необхідно виконати, щоб дістати

кулю з води ? (Використати закон Архімеда).

(Відповіді: 1. 2. 3. ).

Вказівки : 1. Сила тиску рідини на пластину обчислюється,

використовуючи закон Паскаля,

де- площа пластини, - глибина занурення.

Рис.2.8

2. Закон Архімеда:

3. Кінетична енергія тіла, що обертається навколо нерухомої осі, дорівнює де - кутова швидкість , - момент інерції відносно осі обертання.

ІДЗ-2.12

1. Знайти координати центра ваги однорідної плоскої фігури, обмеженої вказаними лініями.

1.1. 1.2. .

1.3. 1.4.

1.5. 1.6.

1.7. 1.8.

1.9. 1.10.

1.11. 1.12.

1.13. 1.14.

1.15.1.16.

1.17. 1.18.

1.19. 1.20.

1.21. 1.22. (в 1 чверті).

1.23. 1.24.

1.25. 1.26.

1.27. 1.28.

1.29. 1.30.

2. Обчислити момент інерції фігури, обмеженої вказаними лініями, відносно вказаної осі.

2.1. 2.2.

2.3. 2.4.

2.5. 2.6.

2.7. 2.8.

2.9. 2.10.

2.11. 2.12.

2.13.2.14.

2.15.2.16.

2.17.2.18.

2.19. 2.20.

2.21. 2.22.

2.23. 2.24.

2.25. 2.26.

2.27. 2.28.

2.29. 2.30.

3. Обчислити силу, з якою вода тисне на пластину, вертикально занурену в воду.

3.1. рис.2.9, а = 4м, H = 1м, d = 1м.

3.2. рис.2.9, а = 10м, H = 4м, d = 0.

3.3. рис.2.9, а = 6м, H = 3м, d = 2м.

3.4. рис.2.9, а = 6м, H = 4м, d = 0.

3.5. рис.2.9, а = 8м, H = 2м, d = 1м.

3.6. рис.2.10, R = 1м, d = 1м.

3.7. рис.2.10, R = 2м, d = 0.

3.8. рис.2.10, R = 4м, d = 2м.

3.9. рис.2.10, R = 3м, d = 0.

3.10. рис.2.10, R = 2м, d = 3м.

рівнобедрений трикутник півкруг

Рис.2.9 Рис.2.10

3.11. рис.2.11, а = 2м, H = 2м, d = 0.

3.12. рис.2.11, а = 3м, H = 4м, d = 1м.

3.13. рис.2.11, а = 5м, H = 9м, d = 2м.

3.14. рис.2.11, а = 4м, H = 4м, d = 0.

3.15. рис.2.11, а = 3м, H = 9м, d = 1м.

3.16. рис.2.12, R = 2м, d = 1м.

3.17. рис.2.12, R = 3м, d = 0.

3.18. рис.2.12, R = 4м, d = 2м.

3.19. рис.2.12, R = 2м, d = 2м.

3.20. рис.2.12, R = 1м, d = 0.

3.21. рис.2.13, а =1м, H = 2м, d = 1м.

3.22. рис.2.13, а =2м, H = 4м, d = 2м.

3.23. рис.2.13, а =4м, H = 6м, d = 3м.

3.24. рис.2.13, а =1м, H = 2м, d = 0.

3.25. рис.2.13, а =3м, H = 4м, d = 1м.

3.26. рис.2.14, а = 4м, b = 8м, H = 2м, d = 0.

3.27. рис.2.14, а = 3м, b = 6м, H = 2м, d = 1м.

рис.2.14, а = 6м, b = 10м, H = 3м, d = 2м.

3.29. рис.2.14, а = 4м, b = 8м, H = 2м, d = 1м.

3.30. рис.2.14, а = 3м, b = 6м, H = 1м, d = 0.

парабола круг

Рис.2.11 Рис.2.12

прямокутний трикутник рівнобічна трапеція

Рис.2.13 Рис.2.14

4. Обчислити роботу, яку необхідно виконати, щоб викачати воду із резервуара заданої форми.

4.1. рис.2.15, R = 1м, H = 2м.

4.2. рис.2.15, R = 2м, H = 4м.

4.3. рис.2.15, R = 3м, H = 5м.

4.4. рис.2.15, R = 2м, H = 3м.

4.5. рис.2.15, R = 3м, H = 6м.

4.6. рис.2.15, R = 3м, H = 4м.

4.7. рис.2.15, R = 4м, H = 6м.

4.8. рис.2.15, R = 4м, H = 8м.

4.9. рис.2.16, R = 3м, H = 5м.

4.10. рис.2.16, R = 4м, H = 10м.

4.11. рис.2.16, R = 6м, H = 9м.

4.12. рис.2.16, R = 5м, H = 8м.

4.13. рис.2.16, R = 2м, H = 5м.

4.14. рис.2.16, R = 4м, H = 8м.

4.15. рис.2.16, R = 2м, H = 3м.

параболоїд обертання конус

Рис.2.15 Рис.2.16

4.16. рис.2.17, а = 8м, b = 4м, H = 2м.

4.17. рис.2.17, а = 4м, b = 2м, H = 1м.

4.18. рис.2.17, а = 6м, b = 4м, H = 1м.

4.19. рис.2.17, а = 4м, b = 2м, H = 2м.

4.20. рис.2.17, а = 10м, b =2м, H = 5м.

4.21. рис.2.17, а = 8м, b = 6м, H = 1м.

4.22. рис.2.17, а = 4м, b =1м, H = 3м.

4.23. рис.2.17, а = 6м, b = 2м, H = 4м.

4.24. рис.2.18, R = 2м, r = 1м, H = 3м.

4.25. рис.2.18, R = 4м, r = 2м, H = 1м.

4.26. рис.2.18, R = 3м, r = 1м, H = 3м.

4.27. рис.2.18, R = 5м, r = 3м, H = 2м.

4.28. рис.2.18, R = 4м, r = 3м, H = 1м.

4.29. рис.2.18, R = 6м, r = 4м, H = 3м.

4.30. рис.2.18, R = 3м, r = 2м, H = 1м.

РОЗВ’ЯЗОК ТИПОВОГО ВАРІАНТА

1. Знайти координати центра ваги однорідної плоскої фігури, обмеженої лініями

правильна зрізана піраміда зрізаний конус

Рис.2.17 Рис.2.18

Знайдемо площу фігури (рис.2.19):

Тоді

Рис.2.19

2. Обчислити момент інерції фігури, обмеженої вказаними лініями

відносно осі (рис.2.20).

Рис.2.20

3. Обчислити силу, з якою вода тисне на пластину, вертикально занурену в воду; форма пластини - рівнобедрений трикутник з основою висотою ; основа трикутника паралельна поверхні води, глибина занурення (рис.2.21).