МАТЕМАТИКА (ІДЗ) / Rozdil2_13
.doc
2.13.
ДИФЕРЕНЦІАЛЬНІ РІВНЯННЯ
ПЕРШОГО ПОРЯДКУ
Диференціальне рівняння першого порядку, що розв’язане відносно похідної, має такий вигляд
(2.31)
1.Диференціальні рівняння з відокремлюючими змінними.
Рівняння вигляду
, (2.32)
(2.33)
називаються рівняннями з відокремленими змінними. Їхні загальні
інтеграли будуть, відповідно
(2.34)
(2.35)
Диференціальне рівняння
(2.36)
називається рівнянням з відокремлюючими змінними. Воно зводиться
до
рівняння (2.32) при діленні обох частин
на вираз
(в
тій
області, де
і
не перетворюються в нуль).
-
Однорідні рівняння першого порядку.
Рівняння
першого порядку (2.31) називається
однорідним, якщо
- однорідна функція нульового виміру
відносно
і
тобто
при довільному
Однорідне рівняння зводиться до рівняння з відокремлюючими змінними з допомогою підстановки
(2.37)
-
Лінійні диференціальні рівняння першого порядку.
Лінійним рівнянням першого порядку називається рівняння, яке є лінійним відносно шуканої функції та її похідної. Воно має такий
вигляд
(2.38)
де
- задані неперервні функції від
(або постійні).
Загальний розв’язок (2.38) шукається у вигляді добутку двох
функцій
від
:
,
(2.39)
де
обчислюються за формулами
(2.40)
(2.41)
-
Рівняння Бернуллі.
Рівняння
(2.42)
де
- неперервні функції від
(або постійні), а
називається рівнянням Бернуллі.
Поділивши
рівняння (2.42) на
і зробивши підстановку
(2.43)
одержимо лінійне рівняння.
-
Рівняння в повних диференціалах.
Рівняння
(2.44)
називається
рівнянням в повних диференціалах, якщо
-
неперервні диференційовні функції, для
яких виконується умова
(2.45)
причому
частинні похідні
- неперервні в деякій області.
Загальний інтеграл рівняння (2.46) має такий вигляд
.
(2.46)
АР-2.13
Розв’язати диференціальні рівняння.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
СР-2.13
Розв’язати диференціальні рівняння.
1.
2.
3.
4.
ІДЗ-2.13
1. Розв’язати диференціальні рівняння.
1.1.
1.2.
1.3.
1.4.
1.5.
1.6.
1.7.
1.8.
1.9.
1.10.
1.11.
1.12.
1.13.
1.14.
1.15.
1.16.
1.17.
1.18.
1.19.
1.20.
1.21.
1.22.
1.23.
1.24.
1.25.
1.26.
1.27.
1.28.
1.29.
1.30.
2. Знайти загальний розв’язок диференціального рівняння.
2.1.
2.2.
2.3.
2.4.
2.5.
2.6.
2.7.
2.8.
2.9.
2.10.
2.11.
2.12.
2.13.
2.14.
2.15.
2.16.
2.17.
2.18.
2.19.
2.20.
2.21.
2.22.
2.23.
2.24.
2.25.
2.26.
2.27.
2.28.
2.29.
2.30.
3. Розв’язати диференціальні рівняння.
3.1.
3.2.
3.3.
3.4.
3.5.
3.6.
3.7.
3.8.
3.9.
3.10.
3.11.
3.12.
3.13.
3.14.
3.15.
3.16.
3.17.
3.18.
3.19.
3.20.
3.21.
3.22.
3.23.
3.24.
3.25.
3.26.
3.27.
3.28.
3.29.
3.30.
4. Розв’язати задачу Коші.
4.1.
4.2.
4.3.
4.4.
4.5.
4.6.
4.8.
4.9.
4.10.
4.11.
4.12.
4.13.
4.14.
4.15.
4.16.
4.17.
4.18.
4.19.
4.20.
4.21.
4.22.
4.23.
4.24.
4.25.
4.26.
4.27.
4.28.
4.29.
4.30.
РОЗВ’ЯЗОК ТИПОВОГО ВАРІАНТА
Розв’язати диференціальні рівняння:
1.
Це рівняння з відокремленими змінними
2.
Це однорідне рівняння першого порядку. Зробимо заміну
або
тоді
і
або
Відокремлюючи змінні, одержимо
або
Тоді
або
Замінивши
на
одержимо
або
3.
Дане
рівняння є лінійним:
Розв’язок
шукаємо у вигляді
де
Тоді
4. Розв’язати задачу Коші
Маємо
рівняння Бернуллі. Поділивши рівняння
на
,
одержимо
Зробимо
заміну
Тоді одержимо лінійне рівняння
де
Значить
,
Отже, загальний розв’язок рівняння має такий вигляд
Знайдемо частинний розв’язок, що задовільняє початковій умові
звідси
Тоді частинний розв’язок початкового рівняння має такий вигляд
