МАТЕМАТИКА (ІДЗ) / Rozdil1_9
.doc1.9. РОЗВ’ЯЗУВАННЯ СИСТЕМ ЛІНІЙНИХ
АЛГЕБРАЇЧНИХ РІВНЯНЬ
-
Правило Крамера. Якщо в системі лінійних алебраїчних рівнянь (CЛАР)
(1.25)
визначник системи де
,
то система (1.25) має єдиний розв’язок, який обчислюється за формулами Крамера
(1.26)
де визначник,що одержується із визначника шляхом заміни - стовпця на стовпець вільних членів.
-
Розв’язування СЛАР за допомогою оберненої матриці.
В матричній формі систему (1.25) можна записати в такому вигляді:
, (1.27)
де Тоді розв’язок системи (1.27) має такий вигляд:
(1.28)
при умові, що
-
Метод Жордана-Гаусса. Розглянемо систему лінійних рівнянь з невідомими
(1.29)
або в матричній формі , де
Матриця називається розширеною матрицею системи (1.29). З допомогою елементарних перетворень над рядками і перестановкою стовпців розширена матриця системи (1.29) може бути приведена до такого вигляду
. (1.30)
Матриця (1.30) є розширеною матрицею системи
(1.31)
яка еквівалентна початковій системі (1.29).
Якщо хоча б одне із чисел відмінне від нуля, то система (1.31) , а, значить, і система (1.29) несумісні.
Якщо ж то система сумісна і формули
-
дають по суті явний вираз для базисних невідомих
через вільні невідомі
AP-1.9
1. Розв’язати систему лінійних алгебраїчних рівнянь:
1) за формулами Крамера; 2) засобами матричного числення;
3) методом Жордана-Гаусса.
2. Дослідити сумісність і знайти загальний розв’язок системи
3. Знайти фундаментальну систему розв’язків і загальний розв’язок системи рівнянь
СР-1.9
1. Дослідити сумісність системи лінійних алгебраїчних рівнянь
2. Знайти фундаментальну систему розв’язків і загальний розв’язок системи
ІДЗ-1.9
Розв’язати систему лінійних алгебраїчних рівнянь:
1) за формулами Крамера; 2) засобами матричного числення;
3) методом Жордана-Гаусса:
Тут ( номер варіанта).
Всі обчислення проводити до третього знаку після коми.
РОЗВ’ЯЗОК ТИПОВОГО ВАРІАНТА
1. Розв’язати систему лінійних алгебраїчних рівнянь:
а) за формулами Крамера; б) засобами матричного числення;
в) методом Жордана-Гаусса:
а) Обчислимо визначник системи
обчислимо також
Тоді за формулами Крамера (1.26) одержимо
б) Запишемо систему в матричній формі де
тоді
Знайдемо обернену матрицю:
,
і
в) Виконуючи елементарні перетворення над рядками розширеної матриці одержимо
тобто ми звели систему до такого вигляду
Відповідь:
2. Знайти фундаментальну систему розв’язків і загальний розв’язок однорідної системи
Знайдемо ранг матриці коефіцієнтів
тому ранг
В якості базисного мінора виберемо мінор і тоді вкорочена система має вигляд
звідки, покладаючи знаходимо
Загальний розв’язок системи Із загального розв’язку одержимо фундаментальну систему розв’язків