- •Задачі на складання та розв’язування диференціальних рівнянь
- •Розв’язок типового варіанта
- •Рекомендована література Підручники та навчальні посібники
- •Збірники задач і вправ
- •8. Берман г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа.
- •Задачі на складання та розв’язування диференціальних рівнянь……………………………………………………………429
-
Задачі на складання та розв’язування диференціальних рівнянь
АР-2.16
-
Човен сповільнює свій рух під дією опору води, який пропорціональний швидкості човна. Початкова швидкість човна дорівнює 2 м/c, а швидкість його через 5с дорівнює 1 м/c. Коли швидкість човна зменшиться до 0,1 м/c?
-
Швидкість знецінювання обладнання внаслідок його зносу пропорційна в кожен момент часу його фактичній вартості. Початкова вартість рівня . Знайти вартість обладнання через років.
-
Тіло охололо за 20 хв. з 1000С до 600С. Температура навколишнього повітря підтримується 200С. За який час тіло охолоне до 300С? (Швидкість охолодження пропорційна різниці температур ).
-
Швидкість розпаду радія пропорційна його масі. Протягом року із кожного грама радія розпадається 0.44 мг. Через скільки років розпадеться половина наявної кількості радія?
ІДЗ-2.16
-
Записати рівняння кривої, для якої відрізок дотичної, що знаходиться між осями координат, ділиться навпіл в точці дотику.
-
Знайти криву, що проходить через точку , для якої трикутник, що утворюється віссю , дотичною до кривої в довільній її точці та радіус-вектором точки дотику, - рівнобедрений (причому основа трикутника - відрізок дотичної від точки дотику до вісі ).
-
Сповільнююча дія тертя на диск, який обертається в рідині, пропорціональна кутовій швидкості. Знайти залежність цієї кутової швидкості від часу, якщо відомо, що диск, який почав обертатися з швидкістю 6 об/с, через 2хв обертається зі швидкістю 3 об/с. Через який час диск буде мати кутову швидкість 1 об/с?
-
Знайти криву, що проходить через точку , для якої відрізок, відрізуваний на осі абсцис дотичною, проведеною в довільній точці кривої, дорівнює квадрату абсциси точки дотику.
-
Записати рівняння кривої, якщо відомо, що відстань від будь-якої дотичної до початку координат дорівнює абсцисі точки дотику.
-
Записати рівняння кривих, для яких точка перетину будь-якої дотичної з віссю абсцис має абсцису рівну 2/3 абсциси точки дотику.
-
Човен сповільнює свою швидкість під дією опору води, який пропорційний швидкості човна. Початкова швидкість човна
м/с, а швидкість його через 4с дорівнює 1 м/с. За який час може пройти човен до зупинки?
-
Знайти криву, яка проходить через точку , для якої кутовий коефіцієнт дотичної у довільній її точці дорівнює ординаті цієї точки, зменшеної на три одиниці.
-
Записати рівняння кривої, що проходить через точку , для якої довжина відрізка, що відтинається на осі абсцис дотичною, проведеною в будь-якій точці кривої, дорівнює кубу абсциси точки дотику.
-
Швидкість пароплава сповільнюється силою опору води, величина якої пропорційна швидкості пароплава . Початкова швидкість пароплава м/с .Через скільки часу швидкість пароплава зменшиться до 1м/c?
-
Знайти рівняння кривої, що проходить через точку , для якої дотична в довільній точці збігається з напрямком радіус-вектора точки дотику.
-
Записати рівняння кривої, що проходить через точку , якщо відомо, що кутовий коефіцієнт дотичної в будь-якій її точці пропорціональний квадрату ординати точки дотику. Коефіцієнт пропорційності дорівнює 6.
-
Записати рівняння кривої, що проходить через точку , якщо відомо, що кутовий коефіцієнт дотичної в будь-якій її точці дорівнює потроєній ординаті цієї точки.
-
Знайти рівняння кривої, що проходить через точку і характеризується тим, що відрізок, відрізуваний дотичною на осі , дорівнює радіус-вектору точки дотику.
-
При опусканні з висоти на парашутиста діє сила тяжіння і сила опору повітря, яка пропорційна квадрату швидкості руху парашутиста. Знайти швидкість парашутиста через 5 с після початку опускання і шлях, пройдений за цей час.
-
Записати рівняння кривої, що має таку властивість: довжина перпендикуляра, опущеного з початку координат на дотичну, рівна абсцисі точки дотику.
-
Температура вийнятого з печі хліба за 20 хв. спадає від 1000С до 600С. Температура повітря 250С. Через який час з моменту початку охолодження температура хліба знизиться до 350С?
-
Знайти рівняння кривої, якщо відрізок будь-якої її дотичної між точкою дотику та віссю ділиться в точці перетину з віссю абсцис у відношенні 2:1 (рахуючи від осі ).
-
Крива проходить через точку і відрізок, відрізуваний на осі абсцис дотичною в довільній точці кривої, дорівнює квадрату абсциси точки дотику. Знайти рівняння кривої.
-
Записати рівняння кривої, що проходить через точку та має таку властивість: відрізок дотичної між точкою дотику та віссю має постійну довжину, що дорівнює 2.
-
Записати рівняння кривої, всі дотичні до якої проходять через початок координат.
-
Записати рівняння кривої, кожна дотична до якої перетинає пряму в точці з абсцисою, рівною подвоєній абсцисі точки дотику.
-
Записати рівняння кривої, для якої довжина відрізка, що відтинається дотичною на вісі , рівна квадрату абсциси точки дотику.
-
Знайти рівняння кривої, що проходить через точку , у якої відрізок дотичної, розміщений між осями координат та , ділиться пополам в точці дотику.
-
В точці з ординатою 2 крива нахилена до осі під кутом 450. Будь-яка її дотична відтинає на осі абсцис відрізок, рівний по довжині квадрату ординати точки дотику. Записати рівняння даної кривої.
-
Знайти рівняння кривої, що проходить через точку , якщо відрізок будь-якої її дотичної, що знаходиться між осями координат, ділиться в точці дотику у відношенні 1:2 (рахуючи від осі ).
-
Крива проходить через точку і добуток кутового коефіцієнта дотичної в довільній її точці на суму координат точки дотику дорівнює ординаті цієї точки. Знайти рівняння кривої.
-
Моторний човен рухається в стоячій воді зі швидксітю
км/год. На повній швидкості його двигун був виключений і через 20с швидкість човна зменшилась до км/год. Опір води пропорційний швидкості руху човна. Знайти швидкість човна через 40с після виключення двигуна.
-
Крива проходить через точку і кутовий коефіцієнт дотичної в довільній її точці, пропорційний квадрату ординати точки дотику з коефіцієнтом пропорційності . Знайти рівняння кривої.
-
Записати рівняння лінії, що проходить через точку , якщо відрізок будь-якої її дотичної між точкою дотику та віссю ділиться в точці перетину з віссю абсцис у відношенні 1:3 (рахуючи від осі ).