7. КРИВІ ТА ПОВЕРХНІ ДРУГОГО ПОРЯДКУ

1. Коло. Рівняння кола з центром в точці і радіусом, що дорівнює в прямокутній декартовій системі координат на площині має такий вигляд

2. Еліпс. Канонічне рівняння еліпса (рис.1.6)

(1.19)

Параметри і називаються півосями еліпса (великою і малою), точки його вершинами. Точки де називаються фокусами еліпса.

Число називається ексцентриситетом еліпса. Прямі називаються директрисами еліпса.

Рис.1.6

Для еліпса характерні такі властивості: де довільна точка на еліпсі, та Рівняння дотичної до еліпса в точці має такий вигляд

(1.20)

3. Гіпербола. Канонічне рівняння гіперболи (рис.1.7)

(1.21)

Параметри і називаються півосями гіперболи, точки і вершинами, а осі симетрії і дійсною та уявною осями, відповідно. Прямі є асимптотами гіперболи.

Точки і де називаються фокусами гіперболи.

Число називається ексцентриситетом гіперболи.

Прямі називаються директрисами гіперболи.

Для гіперболи характерні такі властивості: , де довільна точка на гіперболі та

Рівняння дотичної до гіперболи в точці має такий вигляд

(1.22)

Рис.1.7

4. Парабола. Канонічне рівняння параболи (рис.1.8)

. (1.23)

Число називається параметром параболи; точка називається її фокусом. рівняння директриси

Парабола - це геометричне місце точок, рівновіддалених від фокуса і директриси тобто де довільна точка на параболі.

Рівняння дотичної до параболи в точці має

такий вигляд

(1.24)

Рис.1.8

5. Поверхні другого порядку. Загальне рівняння алгебраїчної поверхні другого порядку в прямокутній декартовій системі координат має такий вигляд:

Існує десять класів невироджених поверхонь другого порядку,канонічні рівняння яких можна одержати із загального рівняння з допомогою перетворень системи координат (паралельного переносу і повороту осей координат). В результаті цих перетворень одержимо такі канонічні рівняння:

(еліпсоїд),

(однопорожнинні гіперболоїди),

(двопорожнинні гіперболоїди),

(конуси),

(еліптичні параболоїди),

(гіперболічні параболоїди),

(еліптичні циліндри),

(гіперболічні циліндри),

(параболічні циліндри).

АР-1.7

1. Скласти канонічне рівняння еліпса, якщо відомо, що:

а) його мала вісь дорівнює 24, віддаль між фокусами дорівнює 10;

б) віддаль між фокусами дорівнює 6, ексцентриситет дорівнює ;

в) віддаль між фокусами дорівнює 4, віддаль між директрисами дорівнює 5;

г) віддаль між директрисами дорівнює 32, ексцентриситет дорівнює 0,5.

2. Скласти канонічне рівняння гіперболи, якщо відомо, що:

а) віддаль між вершинами дорівнює 8, віддаль між фокусами дорівнює 10;

б) дійсна піввісь дорівнює 5, вершини ділять віддаль між центром і фокусами пополам;

в) дійсна вісь дорівнює 6, гіпербола проходить через точку ;

г) точки лежать на гіперболі.

3. Скласти канонічне рівняння параболи, якщо відомо, що:

а) парабола має фокус і вершину в початку координат;

б) парабола симетрична відносно осі абсцис і проходить через точки і ;

в) парабола симетрична відносно осі ординат і проходить через точки і

3. З допомогою виділення повних квадратів і переносу початку координат спростити рівняння ліній, визначити їх тип, розміри і розташування на площині (виконати рисунок):

а)

б)

4. Побудувати тіло, обмежене поверхнями:

а)

б)

СР-1.7

1. Записати рівняння кола, якщо кінці одного із його діаметрів знаходяться в точках і

(Відповідь: ).

2. Скласти рівняння траекторії руху точки , якщо в довільний момент часу вона залишається рівновіддаленою від точки і осі ординат. (Відповідь: парабола).

3. Записати рівняння траекторії руху точки якщо в довільний момент часу вона знаходиться в 1,25 рази дальше від точки ніж від прямої (Відповідь: ).

ІДЗ-1.7

1. Скласти канонічні рівняння : а) еліпса; б) гіперболи;

а) параболи ( точки, що лежать на кривій, фокус, велика (дійсна ) піввісь , мала (уявна) піввісь, ексцентриситет,

рівняння асимптот гіперболи, директриса кривої,

віддаль між фокусами, рис.1.6, рис.1.7, рис.1.8).

1.1. а) ; б) ;

в)

1.2. а) ; б) ;

в)

1.3. а) ; б) ;

в)

1.4. а) ; б) ;

в)

1.5. а) ; б) ;

в) вісь симетрії і .

1.6. а) ; б) ;

в) вісь симетрії і

1.7. а) ; б) ;

в)

1.8. а) ; б) ;

в)

1.9. а) , ; б) ;

в)

1.10.а) ; б) ;

в)

1.11.а) ; б) ;

в) вісь симетрії і .

1.12.а) ; б) ;

в) вісь симетрії і .

1.13.а) ; б) ;

в)

1.14.а) ; б) ;

в)

1.15.а) , ; б) ;

в)

1.16.а) ; б) ;

в)

1.17.а) ; б) ;

в) вісь симетрії і .

1.18.а) ; б) ;

в) вісь симетрії і .

1.19.а) ; б) ;

в)

1.20.а) ; б) ;

в)

1.21.а) , ; б) ;

в)

1.22.а) ; б) ;

в)

1.23.а) ; б) ;

в) вісь симетрії і .

1.24.а) ; б) ;

в) вісь симетрії і .

1.25.а) ; б) ;

в)

1.26.а) ; б) ;

в)

1.27.а) , ; б) ;

в)

1.28. а) ; б) ;

в)

1.29.а) ; б) ;

в) вісь симетрії і .

1.30.а) ; б) ;

в) вісь симетрії і .

2. Скласти рівняння геометричного місця точок площини, якщо:

а) відношення їх відстані від точки до відстані до прямої дорівнює (варіанти 1-10) ;

б) ) відношення їх відстані від точки до відстані до прямої дорівнює (варіанти 11-20) ;

в) рівновіддалених від точки і прямої (варіанти 21-30).

Рівняння геометричного місця точок звести до канонічного вигляду, визначити тип кривої і побудувати її.

номер варіанта.

3. Побудувати поверхню і визначити її вид (назву).

3.1. а) б)

3.2. а) б)

3.3. а) б)

3.4. а) б)

3.5. а) б)

3.6. а) б)

3.7. а) б)

3.8. а) б)

3.9. а) б)

3.10.а) б)

3.11.а) б)

3.12.а) б)

3.13.а) б)

3.14.а) б)

3.15.а) б)

3.16.а) б)

3.17.а) б)

3.18.а) б)

3.19.а) б)

3.20.а) б)

3.21.а) б)

3.22.а) б)

3.33.а) б)

3.24.а) б)

3.25.а) б)

3.26.а) б)

3.27.а) б)

3.28.а) б)

3.29.а) б)

3.30.а) б)

РОЗВ’ЯЗОК ТИПОВОГО ВАРІАНТА

1. Скласти канонічні рівняння :

а) еліпса, ексцентриситет якого дорівнює і точка

лежить на ньому;

б) гіперболи з уявною піввіссю , а фокус знаходиться в точці ;

в) параболи, що має директрису

а) Канонічне рівняння еліпса має вигляд За умовою задачі де , тому Точка лежить на еліпсі, значить координати її задовільняють рівнянню еліпса Отже, і знаходимо із системи рівнянь