3. ВЕКТОРНИЙ І ЗМІШАНИЙ ДОБУТКИ

1. Векторний добуток векторів. Впорядкована трійка некомпланарних векторів і називається правою, якщо з кінця вектора видно найкоротший поворот від до проти стрілки годинника. В протилежному випадку трійка векторів ліва.

Векторним добутком вектора на вектор називається такий третій вектор , що позначається символом (або ), який визначається такими умовами:

1. довжина вектора дорівнює площі паралелограма, побудованого на векторах і , тобто

2. вектор тобто площині, в якій лежать вектори і

3. впорядкована трійка права.

Властивості векторного добутку:

1. 

2. 

3. 

4. 

Якщо вектори задані своїми координатами в прямокутній декартовій системі координат (базис правий), то координати вектора обчислюються за формулою

(1.11)

2. Змішаний добуток векторів. Змішаним добутком впорядкованої трійки векторів , називається число і позначається символом (або ).

Властивості змішаного добутку:

1. якщо об’єм паралелепіпеда, побудованого на векторах і то

, причому знак “+”, коли і права трійка векторів і знак “-”, коли трійка векторів ліва;

2. компланарні;

3. 

Якщо вектори задані координатами в правій ПДСК, то змішаний добуток записується у вигдяді

(1.12)

АР-1.3

1. Вектори і утворюють кут . Знаючи, що ,, обчислити: ; .

( Відповідь: 6; 18; 60 ).

2. Задані вектори і . Знайти координати векторів: ; ; ;

( Відповідь: ; ; ).

3. Обчислити площу трикутника з вершинами , і . ( Відповідь: 14 ).

4. Сили , і прикладені до точки . Обчислити величину і напрямні косинуси момента рівнодійної цих сил відносно точки .

( Відповідь: , , ,

).

5. Обчислити об’єм піраміди з вершинами , , і .

( Відповідь: 6 ).

6. Довести, що точки , , і лежать в одній площині.

7. Встановити, чи компланарні наступні вектори:

а) , , ;

б) , , ;

( Відповідь: а) не компланарні; б) компланарні ).

8. Вияснити, правою чи лівою буде трійка векторів , , . ( Відповідь: лівою. )

СР-1.3

1. Спростити вирази:

а);

б).

2. Знайти площу паралелограма, діагоналями якого служать вектори і , де і - одиничні вектори, які утворюють кут 45⁰.

3. Довести, що при будь-яких і вектори і компланарні.

ІДЗ-1.3

1.Обчислити площу паралелограма, побудованого на векторах і .

1.1. , ; , , .

1.2. , ; , , .

1.3. , ; , , .

1.4. ,; , , .

1.5. , ; , , .

1.6. , ; , , .

1.7. , ; , , .

1.8. , ; , , .

1.9. , ; , , .

1.10., ; , , .

1.11., ; , , .

1.12., ; , , .

1.13., ; , , .

1.14., ; , , .

1.15., ; , , .

1.16., ; , , .

1.17., ; , , .

1.18., ; , , .

1.19., ; , , .

1.20., ; , , .

1.21., ; , , .

1.22., ; , , .

1.23., ; , , .

1.24., ; , , .

1.25., ; , , .

1.26., ; , , .

1.27., ; , , .

1.28., ; , , .

1.29., ; , , .

1.30., ; , , .

2. Обчислити об’єм піраміди з вершинами в точках і її висоту, опущену з вершини на грань .

2.1. , , , .

2.2. , , , .

2.3. , , , .

2.4. , , , .

2.5. ,,, .

2.6. , , , .

2.7. , , , .

2.8. , , , .

2.9. , , , .

2.10., ,,.

2.11., , , .

2.12., , , .

2.13., , , .

2.14., , , .

2.15., , , .

2.16., , , .

2.17., , , .

2.18., , , .

2.19., , , .

2.20., , , .

2.21., , , .

2.22., , , .

2.23., , , .

2.24., , , .

2.25., , , .

2.26., , , .

2.27., , , .