Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Черкасский государственный технологический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Посібник ЧМ

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.02.2016

Размер:

4.07 Mб

Скачать

☆

1 / 121 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ ЧЕРКАСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ ТЕХНОЛОГІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

ЧИСЕЛЬНІ МЕТОДИ: ПОСІБНИК

для студентів інженерно-технічних спеціальностей

освітньо-кваліфікаційного рівня "бакалавр"

Затверджено на засіданні кафедри прикладної математики,

протокол № 11 від «11» червня 2015р., та

Черкаси ЧДТУ 2015

УДК 519.6(075.8)

ББК 22.193я73

Укладачі: Мірошкіна Ірина Володимирівна, к.т.н., доцент Палагіна Олена Анатоліївна, к.т.н., доцент

Рецензент

Тимченко А.А., д.т.н., професор

Чисельні методи: посібник для студентів інженерно-технічних спеціальностей освітньо-кваліфікаційного рівня "бакалавр" / Укл. І. В. Мірошкіна, О. А. Палагіна; М-во освіти і науки України, Черкас. держ. технол. ун-т. – Черкаси: ЧДТУ, 2015. – 116 с.

Навчальне видання

ЧИСЕЛЬНІ МЕТОДИ: ПОСІБНИК

для студентів інженерно-технічних спеціальностей освітньо-кваліфікаційного рівня "бакалавр"

Вступ

Розвиток комп’ютерної техніки призвів до кардинальних перетворень в науці і математиці особливо, надавши дослідникам ефективний засіб для математичного моделювання. Змінилася технологія наукових досліджень, збільшилася можливість проектування і прогнозування складних процесів та об’єктів.

Сучасні математичні моделі не обмежуються лише проблемою знаходження закономірностей, а також потребують розробки потужних методів їхньої реалізації. Реалізація математичної моделі – це, перед усім, розробка ефективних алгоритмів із залученням чисельних методів.

Чисельні методи – це потужний інструмент в руках сучасного інженера. Тому курс з чисельних методів включений до циклу нормативних дисциплін освітньо-професійної програми підготовки бакалаврів більшості інженерних напрямів підготовки.

Даний посібник спрямований на набуття студентами практичних навичок застосування чисельних методів при розв’язанні різних задач в інженерній практиці і охоплює основні розділи дисциплін, що передбачають ознайомлення

зчисельними методами.

Впосібнику розглядається дванадцять тем, для кожної з яких приведені стислі теоретичні відомості, розв’язані приклади та приведені типові завдання для самостійного опрацювання під час аудиторних занять або виконання домашнього завдання.

Посібник призначений для студентів інженерно-технічних спеціальностей усіх форм навчання.

ТЕМА 1. Прямі методи розв’язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь

Лiтература: [1], пп. 5.1-5.6; [3], §§2.1-2.7; [4], §§1.1-1.5; [5], пп. 1.1.1-1.1.3; [6], гол. 3

ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ

Система лінійних алгебраїчних рівнянь із n-невідомими має вигляд:

a11x1 a12 x2

... a1n xn b1,

a21x1 a22 x2

... a2n xn b2

(1)

...............................................

... a

n1 1

або в компактному вигляді aij x j bi ,

i 1,2,...,n.

(2)

j 1

В матричній формі запишемо систему так:

(3)

b ,

...

де A a21

a22 ...

a2n -

матриця коефіцієнтів системи;

- вектор

... ... ...

...

an1

an2 ...

ann

- вектор невідомих.

вільних членів; x

...

Система (1) буде мати єдиний розв’язок, якщо матриця А не вироджена, тобто det A 0.

Чисельні методи розв’язування СЛАР діляться на дві групи: прямі та іте-

раційні.
Прямі		методи дозволяють за скінчену кількість дій отримати точний
розв’язок
розв’язок	x	системи (1), якщо елементи матриці А і вектор вільних членів b

задано точно, і обчислення проводяться без округлень.

Ітераційні методи дозволяють знайти наближений розв’язок шляхом побудови послідовності наближень (ітерацій), починаючи з деякого довільного наближення.

Вибір методу розв’язування СЛАР залежить:

від властивостей матриці А;

від кількості рівнянь;

від характеристик комп’ютера (швидкодії, розрядної сітки, об’єму оперативної пам’яті).

Прямі методи використовуються для розв’язування систем невеликої вимірності ( n 5 10 ).

Ітераційні методи використовують зазвичай для систем великої вимірності ( n 100 ), коли використання прямих методів є недоцільним через необхідність виконувати занадто велику кількість арифметичних операцій.

Метод Гауса є най розповсюдженим прямим методом розв’язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь. Ідея методу полягає у зведенні матриці коефіцієнтів системи A до трикутного вигляду, що досягається послідовним вилученням невідомих із рівнянь системи. Отримується еквівалентна система:

x1 c12 x2	... c1n xn d1		,
x2	... c2n xn d2
x2	... c2n xn d2		,	,	(4)
				,	(4)
.......................................

		xn dn

або в матричній формі запису: Cx		d .

Зведення системи (1) до еквівалентної (4) називається прямим ходом метода Гауса, а розв’язування системи (4), тобто послідовне визначення невідомих, -

зворотним ходом метода Гауса.

Прямий хід можна реалізувати за двома схемами.

Схема єдиного ділення. Послідовно з системи (1) вилучаються невідомі x1, x2, …, xi, …, xn-1. Для вилучення i-ой невідомої з рівнянь системи з номерами i+1, i+2,…, n розділимо і-те рівняння на коефіцієнт aii . Потім від кожного i+1,

і+2,…, n рівняння будемо віднімати і-те рівняння, помножене на відповідні коефіцієнти ai 1,i , ai 2,i , …, an,i :

akj(k 1)

; d

bk(k 1)

; c

a1 j

;

akk(k

1 j

a11

k 1,2,...,n крок перетворення; i,j k 1, k 2,...,n.

Зворотний хід відбувається за формулами: xn dn ;

xn 1 dn 1 cn 1,n xn ;

	n
xi di	cij x j ;	i n, n 1,...,1.
	j i 1

(5)

(6)

Схему вибору головного елемента доцільно використовувати, якщо матриця коефіцієнтів розріджена нулями, або діагональні елементи матриці є малими величинами. Серед елементів матриці головний - найбільший по модулю:

a	a	...	a	...	a
11	12		1q		1n
...	... ... ...			...	...	a pq max		.
A a p1	a p2	...	a pq	...	a pn	a pq max	aij	.
						i, j
	... ... ...			...	...	i, j

...
an1	an2	...	anq	...	ann

Шляхом перестановок рядків та стовпців матриці А головний елемент виводять на місце елемента a11, запам’ятовуючи при цьому порядок наступності

невідомих у вектору m :

...

... ...

...

A a1q

a12

...

a11

...

a1n

m p

... 1 ... n .

...

... ...

...

anq

an2

...

an1

...

ann

Далі застосовуємо алгоритм схеми єдиного ділення. На другому кроці, головний елемент шукається вже серед елементів 2, 3, …, n-ого рядків. І так далі.

Дії продовжуємо до тих пір, доки не будуть вилучені всі невідомі з системи. Зворотний хід проводиться за формулами (6), порядок знаходження невідо-

мих буде визначатися компонентами вектора m , записаними у зворотному порядку.

На практиці при розрахунках користуються розширеною матрицею коефіці-

єнтів системи, яку отримують із матриці A, доповнюючи її справа вектором b . Якщо всі головні мінори матриці коефіцієнтів А системи (1) відмінні від

нуля, то існують такі нижня L і верхня U трикутні матриці, що A=LU. Якщо елементи діагоналі однієї з матриць L або U фіксовані (ненульові), то таке розкладання буде єдиним.

Метод LU-розкладання. Даний метод є модифікацією методу Гаусса. LU- розкладання – це представлення матриці А добутком двох матриць:

						A=L U,	(7)
	1	0	...	0		lij ,при i j
						lij ,при i j
	l21	1	...	0			- нижня трикутна матриця з фіксо-
де L					,	lij 1,при i j	- нижня трикутна матриця з фіксо-
	...	...	...	...
						0,при i j
	ln1	ln1	...	1
ваними діагональними елементами;
u		u	...	u
	11	12		1n		uij ,при i j
	0	u22	...	u2n		uij ,при i j	- верхня трикутна матриця.
U					,	uij	- верхня трикутна матриця.
...		...	...	...		0,при i j
	0	0	...
	0	0	...	unn

Отримаємо формули для розкладання матриці А. Утворимо матрицю М(1):

				1	0	0 ...	0
		m(1)			1	0 ...	0
M (1)				21					m(1)		ai1
		m(1)			0	1 ...	0	, де			ai1		(i=2,…,n).
		m(1)			0	1 ...	0	, де					(i=2,…,n).
				31					i1	a11
		... ... ... ...					0			a11
				(1)
		mn1			0	0 ...	1
Помножимо матрицю А зліва на М(1), отримаємо матрицю А(1):
						a		a	a	...		a
							11	12	13				1n
								(1)	(1)			(1)
							0	a22	a23	...		a2n
		M		(1) A		A(1)	0	a(1)	a(1)	...		a(1)		.
								32	33				3n
						...		... ...		...		0
								(1)	(1)			(1)
							0	an2	an3	...		ann
З якої утворимо матрицю М(2):
			1		0	0 ...	0
			0		1	0 ...	0				a(1)
	(2)				(2)				(2)		a(1)
	(2)								(2)		i2
M			0	m32		1 ...	0	, де mi2					(i=3,…,n).
M			0	m32		1 ...	0	, де mi2			(1)		(i=3,…,n).
		... ... ... ...					0				a22
					(2)
			0	mn2		0 ...	1

Помножимо матрицю А(1) зліва на М(2), отримаємо матрицю А(2):

a11

M (1) A(1) A(2) 0

...

І так далі. Остання буде матриця М(n-1):

a	a	...	a
12	13		1n
(1)	(1)		(1)
a22	a23	...	a2n
	(2)		(2)
0	a33	...	a3n	.
...	...	...	0
	(2)		(2)
0	an3	...	ann

			1	0	0 ...	0	0
	(n 1)		0	1	0 ...	0	0			(n 1)	an,n 1
	(n 1)		0	1	0 ...	0	0			(n 1)	an,n 1
											(n 2)
M			0	0	1 ...	0	0	, де	m			.
M			0	0	1 ...	0	0	, де	m			.
		... ... ... ...				1	0		n,n 1		(n 2)
						(n 1)					an 1,n 1
			0	0	0 ...	mn,n 1	1

Тоді матриця А(n-1) буде верхньою трикутною матрицею:

		a		a	a	...
			11	12	13
M (n 1) A(n 2)	A(n 1)		0	a22(1)	a23(1) ...
M (n 1) A(n 2)	A(n 1)	0		0	a(2) ...
					33
		... ...			... ...
			0	0	0 ...
Таким чином U M (n 1) M (n 2) ... M (2)						M

отримується з ненульових стовпців матриць

a	a
1n 1	1n
(1)	(1)
a2n 1	a2n
(2)	(2)	, тобто матрицею U.
a3n 1	a3n	, тобто матрицею U.
...	...
0	(n 1)
0	ann

(1) A , а нижня трикутна матриця L

M (1) , M (2) ,..., M (n 2) , M (n 1) :

	1	0	0 ...	0
	m(1)	1	0 ...	0
	21	m(2)
L	m(1)	m(2)	1 ...	0
	31	31
	...	...	... ...	1
	...	...	... ...	1
	m(1)	m(2)	m(3) ...	m(n 1)
	n1	n1	n1	n,n 1

0 , або L (M (n 1) M (n 2) ... M (2) M (1) ) 1 .

Якщо матриця А системи (1) розкладена на добуток трикутних матриць L i

U, то замість системи (3) можемо записати еквівалентне рівняння:
		(8)
L U x	b .	(8)

Введемо допоміжний

систему (8) у вигляді L y

U x

		y
		1
		y2
вектор змінних	y	...	U x	., тоді перепишемо


		yn

b, Таким чином, розв’язування системи (1) звелося

до послідовного розв’язання двох трикутних систем.

Запишемо перше рівняння Ly

b у розгорнутій формі:

y1 b1,

b2 ,

l21 y1

..............................

(9)

l y

... l

n,n 1

n 1

b .

n1 1

Звідки знаходимо значення компонент вектора y шляхом прямих підстановок:

y1 b1,

y2 b2 l21 y1,

..............................

yn bn ln1 y1 ln2 y2 ... ln,n 1 yn 1.


Розгорнемо тепер друге рівняння Ux			y :
u11x1 u12 x2		... u1n xn y1,
	u22 x2	... u2n xn y2 ,

		........................

		unn xn yn .

Звідки знайдемо значення невідомих у зворотному порядку:

(10)

(11)

				xn	y	n	,
						n
					unn
					unn
			yn 1 un 1,n xn
xn 1							,
xn 1				un 1,n 1			,
				un 1,n 1			(12)
							(12)
		........................
				n
				y1 u1,k xk
	x1			k 2				.
	x1			u11				.
				u11

Метод прогонки є частковим випадком методу Гауса і застосовується для розв’язання СЛАР з тридіагональними матрицями коефіцієнтів:

b1x1		c1x2		d1,
a	x	b x			c x d ,
	2 1	a2 x2			b2 x3		c 2x	4	d		3	,
		3	2		3	3	3	4			3
..........................................................................																			(13)
						ai xi 1 bi xi				ci xi 1 di ,									(13)
						ai xi 1 bi xi				ci xi 1 di ,
..........		..........			..........		..........		..........				..........	b x..........		d	....
									a	n	x		n 1	b x..........	n	d	n	.
										n			n 1	n	n		n

Тридіагональна матриця - це матриця, яка має ненульові елементи лише на головній діагоналі, на діагоналі під нею та на діагоналі над нею:

	b			c	0		...	0	0
		1		1	c		...	0	0
		a	2	b		2
				2
A	0			a3	b3		...	0	0
	... ... ... ... ...								... .
	... ... ... ... ...								...
		0		0	0		...	an
									bn

Як правило, при обчисленнях тридіагональні матриці зберігають в пам’яті

		0
	a		2
	a			,
комп’ютера у вигляді трьох векторів: a	a			,
			3
	...

	an

...

bn1

		c
			1
і		c2		.
і	c		c	.
			3
			...
			0
			0

За методом прогонки спочатку визначають прогоночні коефіцієнти:

	сi	,		di ai i 1		,	i		,		0.
i			i					1, n		0
	ai i 1 bi			ai i 1	bi						0

Потім шукають розв’язок системи у зворотному порядку за формулою:

xn n ,	xi i xi 1 i ,
		i n 1,1 .

(14)

(15)

ЗАВДАННЯ

1.Методом Гауса за схемами єдиного ділення та вибору головного елемента, методом LU-розкладання розв’язати СЛАР.

4,4x1 2,5x2 19,2x3 10,8x4 4,35,5x1 9,3x2 14,2x3 13,2x4 6,8 1. 7,1x1 11,5x2 5,3x3 6,7x4 1,814,2x1 23,4x2 8,8x3 5,3x4 7,2

5,7x1 7,8x2 5,6x3 8,3x4 2,7 2. 6,6x1 13,1x2 6,3x3 4,3x4 5,5

14,7x1 2,8x2 5,6x3 12,1x4 8,68,5x1 12,7x2 23,7x3 5,7x4 14,7

15,7x1 6,6x2 5,7x3 1,5x4 2,4 3. 8,8x1 6,7x2 5,5x3 4,5x4 5,6

6,3x1 5,7x2 23,4x3 6,6x4 7,714,3x1 8,7x2 15,7x3 5,8x4 23,4

14,4x1 5,3x2 14,3x3 12,7x4 14,7 4. 23,4x1 14,2x2 5,4x3 2,1x4 6,6

6,3x1 13,2x2 6,5x3 14,3x4 9,45,6x1 8,8x2 6,7x3 23,8x4 7,3

1,7x1 1,8x2 1,9x3 57,4x4 10 5. 1,1x1 4,3x2 1,5x3 1,7x4 19

1,2x1 1,4x2 1,6x3 1,8x4 207,1x1 1,3x2 4,1x3 5,2x4 10

8,2x1 3,2x2 14,2x3 14,8x4 8,4 6. 5,6x1 12x2 15x3 6,4x4 4,5

5,7x1 3,6x2 12,4x3 2,3x4 3,36,8x1 13,2x2 6,3x3 8,7x4 14,3

3,8x1 14,2x2 6,3x3 15,5x4 2,8 7. 8,3x1 6,6x2 5,8x3 12,2x4 4,7

6,4x1 8,5x2 4,3x3 8,8x4 7,717,1x1 8,3x2 14,4x3 7,2x4 13,5

4,3x1 12,1x2 23,2x3 14,1x4 15,5 8. 2,4x1 4,4x2 3,5x3 5,5x4 2,5

5,4x1 8,3x2 7,4x3 12,7x4 8,66,3x1 7,6x2 1,34x3 3,7x4 12,1

1,7x1 10x2 1,3x3 2,1x4 3,1 9. 3,1x1 1,7x2 2,1x3 5,4x4 2,13,3x1 7,7x2 4,4x3 5,1x4 1,9

10x1 20,1x2 20,4x3 1,7x4 1,8

6,1x1 6,2x2 6,3x3 6,4x4 6,5 10. 1,1x1 1,5x2 2,2x3 3,8x4 4,25,1x1 5,0x2 4,9x3 4,8x4 4,71,8x1 1,9x2 2,0x3 2,1x4 2,2

2,2x1 3,1x2 4,2x3 5,1x4 6,01 11. 1,3x1 2,2x2 1,4x3 1,5x4 10

6,2x1 7,4x2 8,5x3 9,6x4 1,11,2x1 1,3x2 1,4x3 4,5x4 1,6

30,1x1 1,4x2 10x3 1,5x4 10

17,5x1 11,1x2 1,3x3 7,5x4 1,3 16. 1,7x1 21,1x2 7,1x3 17,1x4 10

2,1x1 2,1x2 3,5x3 3,3x4 1,7

7,3x1 8,1x2 12,7x3 6,7x4 8,8 17. 11,5x1 6,2x2 8,3x3 9,2x4 21,5

8,2x1 5,4x2 4,3x3 2,5x4 6,22,4x1 11,5x2 3,3x3 14,2x4 6,2

4,8x1					12,5x2										6,3x3									9,7x4														3,5
22x1					31,7x2										12,4x3										8,7x4														4,6
18.				21,1x										4,5x									14,4x															15
15x				21,1x						2				4,5x				3					14,4x										4					15
	1									2								3						2,8x									4					1,2
8,6x					14,4x							2			6,2x						3			2,8x									4					1,2
			1									2									3												4
6,4x1					7,2x2									8,3x3									4,2x								4					2,23
5,8x1					8,3x2								14,3x3											6,2x4													17,1
19.					7,7x									18,3x										8,8x														5,4
8,6x					7,7x					2				18,3x							3			8,8x								4						5,4
			1							2					6,5x						3											4							6,5
13,2x						5,2x						2			6,5x						3			12,2x												4			6,5
					1							2									3															4
14,2x1						3,2x2									4,2x3									8,5x4														13,2
6,3x1					4,3x2									12,7x3										5,8x4														4,4
20.					22,3x										5,2x									4,7x														6,4
8,4x					22,3x								2		5,2x						3			4,7x										4				6,4
			1		13,7x								2								3													4					8,5
2,7x					13,7x								2		6,4x							3		12,7x													4		8,5
			1										2									3															4
7,3x1					12,4x								2		3,8x3									14,3x4															5,8
10,7x1 7,7x													2		12,5x3										6,6x4														6,6
21.						6,6x									14,4x										8,7x														12,4
15,6x						6,6x							2		14,4x									3	8,7x												4		12,4
7,5x					1								2		8,3x									3													4
7,5x					12,2x								2		8,3x						3			3,7x									4					9,2
			1										2								3												4
13,2x1						8,3x2									4,4x3										6,2x4														6,8
8,3x1					4,2x2										5,6x3									7,7x4														12,4
22.					3,7x									12,4x											6,2x														8,7
5,8x					3,7x									12,4x											6,2x														8,7
3,5x1					6,6x2									13,8x									3		9,3x											4			10,8
			1							2												3													4
8,1x1					1,2x2								9,1x3								1,7x4												10
1,1x				1,7x				2				7,2x					3					3,4x								4				1,7
23.	1							2									3													4
23.					1,8x								10x							2,3x													2,1
1,7x					1,8x				2				10x			3				2,3x								4					2,1
1,3x			1		1,7x				2							3												4							27,1
1,3x					1,7x				2				9,9x				3								3,5x					4					27,1
		1							2								3													4
3,3x1					2,2x2									10x3								1,7x4												1,1
1,8x1					21,1x2										1,3x3								2,2x4														2,2
24.	10x1					1,1x2									20x3								4,5x4														10
70x					1,7x				2				2,2x				3					3,3x								4					2,1
		1							2								3													4
1,7x1					9,9x2								20x3							1,7x							4					1,7
20x1					0,5x2								30,1x3										1,1x							4				2,1
25.				20x							30,2x												0,5x													1,8
10x				20x			2				30,2x								3				0,5x								4					1,8
	1						2							3,3x					3			20x									4			1,7
3,3x					0,7x					2				3,3x				3				20x							4					1,7
			1							2								3											4
1,7x					1,3x								1,1x							1,2x												2,2
10x			1		10x				2		1,3x					3			1,3x								4				1,1
26.	1						2								3											4
26.					3,3x									1,2x									1,3x												1,2
3,5x					3,3x					2				1,2x				3					1,3x							4					1,2
1,3x			1		1,1x					2								3												4
1,3x					1,1x			2				1,3x				3								1,1x		4					10
		1						2								3										4

1 / 121 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
22.07.2019375.23 Кб3Поперешняк, Звукові карти.rtf
#
17.09.2019153.09 Кб2Порядок виконання роботи.doc
#
12.08.2019732.67 Кб44Посібник з англійської мови.doc
#
15.11.20193.38 Mб19Посібник Ковтуненко.doc
#
22.11.20191.92 Mб15Посібник корозія.doc
#
23.02.20164.07 Mб19Посібник ЧМ.pdf
#
20.12.20183.68 Mб10Посібник. БЖД. Желібо..doc
#
23.02.2016169.98 Кб4Пояс Вода.doc
#
16.09.20192.91 Mб7Пояснювальна до курсової.docx
#
23.04.2019802.3 Кб10ПР № 12, 13.doc
#
23.04.2019307.71 Кб5Пр № 4.doc

a	a	...	a
12	13		1n
(1)	(1)		(1)
a22	a23	...	a2n
	(2)		(2)
0	a33	...	a3n	.
...	...	...	0
	(2)		(2)
0	an3	...	ann

a	a	...	a
12	13		1n
(1)	(1)		(1)
a22	a23	...	a2n
	(2)		(2)
0	a33	...	a3n	.
...	...	...	0
	(2)		(2)
0	an3	...	ann

a	a	...	a
12	13		1n
(1)	(1)		(1)
a22	a23	...	a2n
	(2)		(2)
0	a33	...	a3n	.
...	...	...	0
	(2)		(2)
0	an3	...	ann