Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Черкасский государственный технологический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Посібник ЧМ

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.02.2016

Размер:

4.07 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 1212

рібно заготовити шаблони. Якщо граничні значення будуть корегуватися, то в шаблонах зберігаються і граничні клітини. Шаблон №1 заповнюємо початковими значеннями uij(0) (отримані для крупної сітки). Шаблон №2 (рис.18, в) заповнюємо таким чином, щоб в кожній клітині було записано середнє арифметичне чотирьох чисел з шаблону №1 (граничні клітини приймають участь в розрахунках). Далі шаблон №2 накладають на шаблон №1 і заповнюють шаблон №3 і так далі, доки значення в шаблонах не співпадуть до заданої точності.

					ЗАВДАННЯ
1. Методом сіток				скласти	розв’язок диференціального рівняння Лапласа
2u	2u	0	із	заданими	початковими умовами; крок h=1. Уточнення
x2	y2	0	із	заданими	початковими умовами; крок h=1. Уточнення
x2	y2

розв’язку проводити до сотих за процесом Лібмана.


1.			16.

2.	17.
3.	18.
4.	19.
5.		20.

6.	21.
7.	22.
8.				23.

9.
		24.
10.	25.
11.					26.

12.	27.
	111

13.	28.
14.	29.
15.		30.

ПРИКЛАД РОЗРАХУНКІВ

1. Методом сіток скласти розв‘язок диференційного рівняння Лапласа

заданими початковими умовами:

1 ( ),

. Крок h = 1. Уточнення про-

u x, y

0,5(

)

водити до сотих за допомогою процесу Лібмана.

Будуємо задану область Г. Бачимо, що розв‘язок буде симетричним, тому його значення будемо шукати лише у першій чверті еліпса.

									4
																4
									3
									2							3
			x2													3
3		1	x2
3		1							1
			16													x2
				x	4	3	2	1	0	1	2	3	4	3		x2
				x												16
				2											1	2
	3	1							1
				16
									2							1
																1
									3
									4							0	1	2	3	4
																0	1	2	3	4
									x									x

Візьмемо крок h = 1 і накладемо сітку на область Г.

Ah=A		Bh			Ch
3
		B		C
				C			Dh
2							Dh
2	u1		u2		u3	D
	u1		u2		u3	D
1	u4		u5		u6		u7	E	Eh
	u4		u5		u6		u7	E
0	u		u		u		u		Fh=F
0	8	1	9	2	10	3	11		4
		1		2		3			4
				112

Визначимося з вузлами сітки.

Внутрішні вузли:

;

Граничні вузли:

;

На границі області Г граничним вузлам відповідають точки:

;

Обчислимо значення функції u(x,y) на границі Г (за формулою крайових умов):

U(x y) 0.5 (

)

uA U(0 3) 1.5

uB U(1 2.9047) 1.9524

uC U(2 2.5981) 2.2991

uD U(3 1.9843) 2.4922

uE U(3.7712 1)

2.3856

uF U(4 0) 2

Для кожного внутрішнього вузла складемо рівняння таким чином: значення функції у вузлі дорівнює середньому арифметичному чотирьох значень функції в сусідніх вузлах.Отримані рівняння утворюють систему лінійних алгебраїчних рівнянь, розв’язавши яку отримаємо значення розв’язку у внутрішніх вузлах:

u1 0 u2 0 u3 0 u4 0 u5 0 u6 0 u9 0 u7 0 u8 0 u10 0 u11 0

Given

	u		1		2 u					uA u					u						1			u						u					uB u							u						1	u				uD uC u
	u	1			2 u				2	uA u					u		2							u			1			u			3		uB u							u		3					u			2	uD uC u
		1	4						2				4				2	4									1						3							5				3			4					2							6
			4															4																													4
	u		1		2 u					u			u		u					1		u							u						u			u				u					1	u				u				u		u
	u	4			2 u				5	u		1	u		u	5						u				4			u			6			u		2	u				u	6					u			5	u			7	u	3	u
		4	4						5			1	8			5		4								4						6					2		9				6				4				5				7		3		10
			4															4																													4
	u		1		u				uE uD u											u								1		2 u						2 u					u				1	u					u					2 u
	u	7			u		6		uE uD u											u			8							2 u					9	2 u					u	9				u				8	u			10		2 u
		7	4				6							11									8					4							9			4				9			4					8				10				5
			4																									4																	4
	u			1		u				u			2 u				u								1			u					uF 2 u
	u	10				u		9		u	11		2 u				u	11										u			10		uF 2 u
		10	4					9			11		6					11							4						10									7
			4																						4
Find uT ( 1.9318 2.074 2.2762 2.0794 2.1356 2.2396 2.3344 2.1144 2.1495 2.2122 2.2203)
Таким чином,
u1 1.9318	u2	2.074							u3 2.2762						u4				2.0794															u5 2.1356								u6			2.2396
u7 2.3344	u8	2.1144								u9 2.1495							u10 2.2122																			u11 2.2203

Складемо шаблон №1, в якому внутрішні значення відповідають щойно знайденим, а граничні отримаються в результаті уточнення попередніх граничних значень за формулою

лінійної інтерполяції: u( Ah ) u( A) u(B) u( A) , h

де Аh – вузлова гранична точка; А – найближче до Аh точка границі Г, B - найближчий до Аh внутрішній вузол сітки Sh, – віддалення вузла Ah від точки А; >0, якщо Ah К; <0, якщо

Ah К.

B 2.9047 3 0.0953

C 2.5981 3 0.4019

D 1.9843 2 0.0157

E 3.7712 4 0.2288

uAh uA 1.5

u2 uB

u3 uC

uBh uB

B 1.9652

uCh uC

C 2.2837

1 B

1 C

u7 uD

u7 uE

uDh uD

D 2.4896

uEh uE

E 2.3704

1 D

1 E

uFh uF 2

Утворимо шаблон:

113

uAh			uBh		uCh		0		0
	u1		u2		u3		uDh		0
	u1		u2		u3		uDh		0
S
	u4		u5		u6		u7		uEh
	u		u		u		u		uFh
		8		9		10		11

S1 S

		1	2	3	4	5
	1	1.5	1.9652	2.2837	0	0
S1	2	1.9318	2.074	2.2762	2.4896	0
	3	2.0794	2.1356	2.2396	2.3344	2.3704
	4	2.1144	2.1495	2.2122	2.2203	2

Процес Лібмана міститься в уточнені значень, що входять в шаблон №1. Кожний наступний шаблон отримуємо з попереднього таким чином: значення функції у внутрішніх вузлах дорівнює середньому арифметичному чотирьох сусідніх попереднього шаблону. А значення функції в граничних вузлах – за формулою лінійної інтерполяції. Таке уточнення проводять до тих пір, доки не буде співпадання результатів із заданою точністю.

		R								1		2 S								S						S									R					1		S										S							S							S
		R		2 1								2 S							2	S						S									R	2 2						S							1			S					3		S				2			S
				2 1					4							2			2		1 1						3 1									2 2				4						2			1							2	3					1	2				3 2
									4																															4
		R							1		S								S					S					S									R												1	S							S						2 S
			2 3						4							2 2					2 4					1 3					3	3							3 1										4					2		1				4		1					3	2
									4																																								4
R						1		S								S					S						S										R										1	S								S						S					S
R	3	2						S					2			S					S						S										R	3 3										S						2		S				4		S			3		S
	3	2				4			2				2						4 2					3 1					3	3								3 3								4			3					2				3		4				2	3			4	3
						4																																								4
				R										1	S					S						S					S										R												1		2 S							2 S
					3		4						4					3 3			3 5						2 4					4		4										4 1								4						3 1							4	2
													4																																							4
					R											1	2 S					S						S								R							1		2 S											S						S
					R			4 2									2 S				2	S					1	S								R	4 3								2 S									3		S				2		S			4
								4 2								4				3	2					4	1			4 3							4 3						4						3					3				4		2				4	4
																4																											4
																	R					1				2 S				S					S												R							S
																	R		4 4							2 S		4		S			3		S												R							S
																			4 4			4					3	4				4	3				4	5											1 1								1 1
																						4																											1 1								1 1
																							R2 2 uB																												R2 3 uC
												R1 2 uB																			B					R1 3 uC																									C
												R1 2 uB													1 B						B					R1 3 uC																		1 C							C
																		R3 4 uD																						R3 4 uE
		R2 4 uD																								D					R2 4 uE																								E						R4 5 S4 5
		R2 4 uD																	1 D							D					R2 4 uE												1 E												E						R4 5 S4 5

N1 S

N2 R

Аналогічно побудуємо інші шаблони:

		1	2	3	4	5
	1	1.5	1.9652	2.2837	0	0
N1	2	1.9318	2.074	2.2762	2.4896	0
	3	2.0794	2.1356	2.2396	2.3344	2.3704
	4	2.1144	2.1495	2.2122	2.2203	2

		1	2	3	4	5
	1	1.5	1.9655	2.2807	0	0
N2	2	1.9318	2.0772	2.2717	2.3691	0
	3	2.0794	2.1356	2.2396	2.33	0
	4	2.1144	2.1495	2.2122	2.2203	2

114

		1	2	3	4	5
	1	1.5	1.9654	2.2605	0	0
N3	2	1.9335	2.0762	2.2417	2.1843	0
	3	2.0794	2.1364	2.2374	1.7072	0
	4	2.1144	2.1495	2.2122	2.2181	2

КОНТРОЛЬНІ ПИТАННЯ ДЛЯ САМОПЕРЕВІРКИ

1.Сформулюйте задачу Дирихле?

2.Розкажіть етапи алгоритму методу сіток.

3.Дайте визначення сусідніх, граничних та внутрішніх вузлів сітки.

4.Наведіть скінченно-різнецеві рівняння для внутрішніх вузлів.

5.В чому полягає процес усереднення Лібмана?

6.Що таке шаблон і як його розрахувати?

115

ЛІТЕРАТУРА

1.Практикум з обчислювальної математики. Основні числові методи: Навчальний посібник. В 2-х частинах. І.А. Анджейчак, Є.М. Федюк, В.Є. Анохін та інш. Л.:Львівська політехніка. Частина І. – 99 с.

2.Практикум з обчислювальної математики. Основні числові методи. Лекції: Навчальний посібник. В 2-х частинах. І.А. Анджейчак, Є.М. Федюк, В.Є. Анохін та інш. Л.:Львівська політехніка. Частина ІІ. – 151 с.

3.Григоренко Я.М., Панкратова Н.Д., Обчислювальні методи в задачах прикладної математики: Навч. посібник. – К.: Либідь, 1995. – 280 с.

4.Пирумов У. Г. Численные методы: учеб. пособие для студ. втузов / У.Г. Пирумов. – 4-е изд., стереотип. – М.: Дрофа, 2007. – 221, [3] с.: ил.

5.Численные методы. Сборник задач: учеб. пособие для вузов / В.Ю. Гидаспов, И.Э. Иванов, Д.Л. Ревизников и др.; под ред. У.Г. Пирумова. – М.:

Дрофа, 2007. – 144 с.: ил.

6.Воробьева Г.Н., Данилова А.Н. Практикум по вычислительной математике. М: Высшая школа, 1990. – 207 с.

7.Вержбицкий В.М. Численные методы (математический анализ и обыкновенные дифференциальные уравнения): Учеб. пособие для вузов / В.М. Вержбицкий. – 2-е изд., испр. – М.: ООО «Издательский дом

«ОНИКС 21 век», 2005. – 400 с.: ил.

8.Вержбицкий В.М. Численные методы (линейная алгебра и нелинейные уравнения): Учеб. пособие для вузов / В.М. Вержбицкий. – 2-е изд., испр.

– М.: ООО «Издательский дом «ОНИКС 21 век», 2005. – 432 с.: ил.

9.Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. - М.:

Государственное изд-во физико-математ. лит., 1960. – 659 с.

10.Бахвалов Н.С. Численные методы. Анализ. Алгебра. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1975. – 632 с.

11.Калиткин Н.Н. Численные методы. М.: Наука, 1978. – 512 с.

12.Волков Е.А. Численные методы: Учебное пособие. – М.: Наука. Главн. ред. физ.-мат. литературы, 1982. – 256 с.

116

ЗМІСТ

ВСТУП………………………………………………………………………......		3
ТЕМА 1.	Прямі методи розв’язування систем лінійних алгебраїчних
	рівнянь………………………………………………………………	4
ТЕМА 2.	Ітераційні методи розв’язування систем лінійних алгебраїчних
	рівнянь………………………………………………………………	21
ТЕМА 3.	Методи визначення коренів нелінійних рівнянь………………..	29
ТЕМА 4.	Методи розв’язування систем нелінійних рівнянь………………	36
ТЕМА 5.	Знаходження власних чисел і власних векторів матриць……….	42
ТЕМА 6.	Наближення функцій……………………………………………...	55
ТЕМА 7.	Кубічна сплайн-інтерполяція……………………………………… 68
ТЕМА 8.	Чисельне диференціювання……………………………………….. 77
ТЕМА 9.	Чисельне інтегрування…………………………………………….. 86
ТЕМА 10.	Чисельне розв’язування задачі Коші для звичайного
	диференціального рівняння першого порядку…….……………..	96
ТЕМА 11.	Скінченно-різницевий метод розв’язання крайової
	задачі……………………………………………………………….. 101
ТЕМА 12.	Розв‘язування задачі Діріхле методом сіток…………………..	107
ЛІТЕРАТУРА…………………………………………………………………..		115

117

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 1212

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
22.07.2019375.23 Кб3Поперешняк, Звукові карти.rtf
#
17.09.2019153.09 Кб2Порядок виконання роботи.doc
#
12.08.2019732.67 Кб44Посібник з англійської мови.doc
#
15.11.20193.38 Mб19Посібник Ковтуненко.doc
#
22.11.20191.92 Mб15Посібник корозія.doc
#
23.02.20164.07 Mб19Посібник ЧМ.pdf
#
20.12.20183.68 Mб10Посібник. БЖД. Желібо..doc
#
23.02.2016169.98 Кб4Пояс Вода.doc
#
16.09.20192.91 Mб7Пояснювальна до курсової.docx
#
23.04.2019802.3 Кб10ПР № 12, 13.doc
#
23.04.2019307.71 Кб6Пр № 4.doc


1.			16.

2.	17.
3.	18.
4.	19.
5.		20.

6.	21.
7.	22.
8.				23.

9.
		24.
10.	25.
11.					26.

12.	27.
	111

									4
																4
									3
									2							3
			x2													3
3		1	x2
3		1							1
			16													x2
				x	4	3	2	1	0	1	2	3	4	3		x2
				x												16
				2											1	2
	3	1							1
				16
									2							1
																1
									3
									4							0	1	2	3	4
																0	1	2	3	4
									x									x


1.			16.

2.	17.
3.	18.
4.	19.
5.		20.

6.	21.
7.	22.
8.				23.

9.
		24.
10.	25.
11.					26.

12.	27.
	111

									4
																4
									3
									2							3
			x2													3
3		1	x2
3		1							1
			16													x2
				x	4	3	2	1	0	1	2	3	4	3		x2
				x												16
				2											1	2
	3	1							1
				16
									2							1
																1
									3
									4							0	1	2	3	4
																0	1	2	3	4
									x									x


1.			16.

2.	17.
3.	18.
4.	19.
5.		20.

6.	21.
7.	22.
8.				23.

9.
		24.
10.	25.
11.					26.

12.	27.
	111

									4
																4
									3
									2							3
			x2													3
3		1	x2
3		1							1
			16													x2
				x	4	3	2	1	0	1	2	3	4	3		x2
				x												16
				2											1	2
	3	1							1
				16
									2							1
																1
									3
									4							0	1	2	3	4
																0	1	2	3	4
									x									x