Посібник ЧМ
.pdfКОНТРОЛЬНІ ПИТАННЯ ДЛЯ САМОПЕРЕВІРКИ
1.Що означає відокремити корені рівняння?
2.Сутність методу Ньютона для системи двох нелінійних рівнянь.
3.Наведіть ітераційну формулу метода Ньютона для системи n нелінійних рівнянь.
4.Як визначається Якобіан системи нелінійних рівнянь?
5.Сутність методу ітерацій.
6.Якими є умови збіжності методу ітерацій?
7.Наведіть ітераційну формулу метода ітерацій для системи n нелінійних рівнянь, порівняйте її з ітераційною формулою метода Ньютона.
41
ТЕМА 5. Знаходження власних чисел і власних векторів матриць
Лiтература: [3], §§1.14-1.16; [4], §§1.1-1.5; [5], п. 1.2; [6], гол. 6
|
|
ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ |
|
Нехай А – квадратна матриця порядку n. Будь-який ненульовий вектор |
|
|
0 , для якого |
|
x |
V n , x |
|
Ax x , (36)
де - деяке число, називається власним вектором матриці А, а - власним зна-
ченням матриці А, що відповідає вектору x . Рівняння (36) еквівалентно рівнянню
|
0 , |
(37) |
( A E)x |
де Е – одинична матриця. Система (37) є однорідною системою лінійних рівнянь, розв’язком якої буде власний вектор матриці A. Така система має нетривіальний розв’язок тоді і тільки тоді, коли
|
a11 |
a12 |
... |
a1n |
|
|
|
|
|
|
|||||
det( A E) |
a21 |
a22 |
... |
a2n |
0 . |
(38) |
|
... |
... |
... |
... |
||||
|
|
|
|||||
|
an1 |
an2 |
... |
ann |
|
|
Рівняння (38) називається характеристичним рівнянням матриці А, а його ліва частина є многочленом степеня n вигляду
( 1)n ( n p n 1 |
p |
n 2 ... p |
n |
) ( 1)n P ( ) , |
(39) |
1 |
2 |
|
n |
|
який називається характеристичним многочленом матриці А. Коренями много-
члена є множина власних значень , |
,..., |
матриці А, кожному власному |
1 2 |
n |
|
значенню i відповідає свій власний вектор xi . |
|
|
В різних випадках виникають різні вимоги до інформації про власні значення і власні вектори. Це призводить до різноманітних задач і методів знаходження власних чисел і векторів.
Для розв’язування певного класу задач механіки, фізики, хімії необхідні всі власні значення, а іноді і всі власні вектори матриць. В такому випадку го-
ворять про повну проблему власних значень.
Іноді достатньо лише визначити найбільше або найменше по модулю власне значення матриці, або знайти тільки два перших власних значення. Тоді го-
ворять про часткову проблему власних значень.
Методи знаходження власних значень можна поділити на три групи:
методи першої групи дозволяють розгорнути характеристичний визначник , тобто визначити коефіцієнти характеристичного многочлена (39), щоб потім розв’язати алгебраїчне рівняння (38).
42
методами другої групи матрицю А призводять до спеціального вигляду, коли обчислення власних значень стає простою задачею.
методи третьої групи є ітераційними.
Метод Крилова. Значення коефіцієнтів характеристичного многочлена (39) отримуються як розв’язки системи
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cn 1 p1 |
cn 2 p2 |
... c0 pn |
cn , |
(40) |
||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
де c0 |
- довільний вектор. Наприклад c0 |
|
0 |
|
, а ci Aci 1, i 1,2,...,n . |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Система (40) являє собою систему лінійних алгебраїчних рівнянь з невідомими p0 , p2 ,..., pn , яку можна розв’язати за методом Гауса. Далі, розв’язуючи
алгебраїчне рівняння (38), знаходять власні значення матриці А - 1, 2 ,..., n . |
|||||||
|
|
|
|
|
|
i (i=1,n) визначають за |
|
Власний вектор xi |
, |
що відповідає власному числу |
|||||
формулою |
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
xi i, j cn j 1 |
i,0cn 1 |
i,1cn 2 ... i,n 1c0 , |
(41) |
||||
|
j 0 |
|
|
|
|
|
|
де i, j - коефіцієнти, що отримуються при діленні характеристичного рівняння
(38) на ( ) |
Pn ( ) |
|
|
n 1 |
|
n 2 |
... |
i,n 1 |
за схемою Горнера: |
|||||
|
i,0 |
|||||||||||||
i |
( i ) |
|
|
|
|
|
i,1 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i,n 1; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
i,n 1 |
i i,n |
pn ; |
|
|
|
(42) |
|||||||
|
|
i, j |
|
i, j |
1 |
p |
j 1 |
, |
j n 1,...,1. |
|||||
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|||||
Отримані власні вектори нормують.
Метод Данилевського. Для визначення коефіцієнтів характеристичного рівняння (38) матрицю А через (n-1) перетворення подібності замінюють подіб-
ною матрицею – матрицею Фробеніуса:
|
. |
(43) |
Матриці А і Р називаються подібними, якщо |
, де S – неособлива |
|
матриця. Подібні матриці мають однакові характеристичні поліноми: |
|
|
det(A-λE)=det(P-λE). |
|
|
Перетворення матриці А до Р відбувається за формулою: |
|
|
|
. |
(44) |
Спочатку з елементів матриці А будують матриці |
|
|
43
;
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
||
Потім шукають добуток матриць: |
|
. Вважаючи за початко- |
||||||||
ву матрицю В, формують наступні матриці: |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
,
через які визначають матрицю С:
.
Подібні дії продовжуємо до отримання матриці Фробеніуса Р.
Власний вектор , що відповідає власному значенню обчислюється за фор-
мулою: |
, де |
. |
Степеневий метод. |
Це класичний метод для розв’язання часткової про- |
|
блеми власних значень. |
|
|
Припустимо, що власні значення |
матриці А дійсні і задоволь- |
|
няють умові |
. При цьому позначимо відповідні власні ве- |
|
44
ктори через |
|
|
|
. Візьмемо довільний вектор |
і побу- |
|
дуємо рекурентну послідовність векторів: |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
(45) |
Тоді |
|
, де |
|
– однойменні координати двох послідовних векторів. |
||
|
||||||
Вектори |
|
|
отримуються тільки за допомогою множення матриці на век- |
|||
тор. Метод може збігатися повільно, тому компоненти векторів |
набувають |
|||||
великих значень. |
Цього можна уникнути, якщо нормувати вектори |
, тоді |
||||
|
, а |
|
|
|
. Власний вектор для визначимо як |
, де S |
|
|
|
|
|||
– номер останньої ітерації.
ЗАВДАННЯ
1.Розв’язати повну проблему власних значень для матриці А методами Крилова, Данилевського.
2.Знайти перше власне значення матриці А і відповідний йому власний вектор степеневим методом.
1. |
16. |
2. |
17. |
3. |
18. |
4. |
19. |
5. |
20. |
6. |
21. |
45
7. |
22. |
8. |
23. |
9. |
24. |
10. |
25. |
11. |
26. |
12. |
27. |
13. |
28. |
14. |
29. |
15. |
30. |
ПРИКЛАД РОЗРАХУНКІВ
1.Розв’язати повну проблему власних значень для матриці А методами Крилова, Данилевського.
2,2 |
1 |
0,5 |
2 |
|
|
|
1 |
1,3 |
2 |
1 |
|
A |
|
||||
|
0,5 |
2 |
0,5 |
1,6 |
|
|
2 |
1 |
1,6 |
2 |
|
Метод Крилова
Запишемо характеристичне рівняння для матриці А:
( 1) 4 ( 4 p1 3 p2 2 p3 p4 ) 4 p1 3 p2 2 p3 p4 0 .
ORIGIN 1 |
n 4 |
46
|
2.2 |
1 |
0.5 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
1 |
1.3 |
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
0.5 |
2 |
0.5 |
1.6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
1 |
1.6 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Будуємо послідовність векторів: |
- довільний вектор, |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
c0 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
2.2 |
|
|
|
10.09 |
|
|
|
52.373 |
|
291.001 |
|||||
c 0 |
0 |
|
|
c 1 A c 0 |
|
1 |
c 2 |
|
A c 1 |
|
6.5 |
c 3 |
A c 2 |
|
|
41.84 |
c 4 A c 3 |
239.605 |
||||
|
0 |
|
|
|
0.5 |
|
6.55 |
|
37.64 |
|
220.782 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
10.2 |
|
|
|
|
57.56 |
|
|
321.93 |
Складаємо систему лінійних алгебраїчних рівнянь для визначення коефіцієнтів характеристичного рівняння:
|
|
|
|
c 3 |
c 2 |
c 1 |
c 0 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
1 |
1 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
||
|
|
c 32 |
c 22 |
c 12 |
c 02 |
|
|||
|
|
0 |
B |
|
|
|
|
|
|
p |
|
0 |
|
c 33 |
c 23 |
c 13 |
c 03 |
||
|
|
c 3 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
c 2 |
c 1 |
c 0 |
|||
|
|
0 |
|
|
4 |
4 |
4 |
4 |
|
та розв’яжемо її:
|
52.373 10.09 |
2.2 |
1 |
||
B |
41.84 |
6.5 |
1 |
0 |
|
37.64 |
6.55 |
0.5 |
0 |
||
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
57.56 |
10.2 |
2 |
0 |
|
Given |
|
|
|
|
|
|
|
|||
B p |
|
c4 |
|
6 |
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|||||||
Find(p) |
|
0.2 |
|
p |
|
0.2 |
|
|||
|
12.735 |
|
12.735 |
|
||||||
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.7616 |
|
|
2.7616 |
|||
Таким чином, отримали рівняння:
f( ) 4 6 3 0.2 2 12.735 2.7616.
Знайдемо корені рівняння. Побудуємо графік функції f ( ) . Знайдемо наближені значення
коренів.
Кожний корінь уточнимо функцією Mathcad – root.
Отримали чотири кореня – чотири власних значення. Для кожного з них знайдемо відповідний власний вектор.
Перше власне число: 1 1.5 |
1 root(f( 1) 1) |
1 |
1.42 |
|
11 1 |
j 2 n |
|
|
|
1j 1 1j 1 pj 1 |
|
|
|
|
47
1
7.421 10.337
1.945
x1 11 c3 12 c2 13 c1 14 c01.699
3.947 x1 5.793
2.549
Пронормуємо отриманий вектор (розділимо на найбільшу по модулю компоненту):
i 1 4
|
x1i |
x1i |
|
|
|
|
|
|
5.793 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
0.293 |
|
|
|
|
|
x1 |
0.681 |
|
|
||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.44 |
|
|
|
Друге власне число: |
2 0.2 |
2 |
root(f( 2) 2) |
2 |
0.223 |
||
21 1 |
j 2 n |
|
|
|
|
|
|
2j 2 2j 1 pj 1
1
5.7772 1.486
12.404
x2 21 c3 22 c2 23 c1 24 c0
3.214
2.801 x2 0.945
4.342
i 1 4
x2i |
x2i |
4.342 |
|
|
0.74 |
|
|
|
|
x2 |
0.645 |
|
|
|
|
|
0.218 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
Третє власне число: 3 1.5 |
3 root(f( 3) 3) |
3 |
1.545 |
||
31 1 |
|
|
|
|
|
j 2 n
3j 3 3j 1 pj 1
48
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
4.455 |
|
|
||||
|
|
|
7.084 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.787 |
|
|
|||
|
|
|
x3 31 c3 32 c2 33 c1 34 c0 |
|
|||||||
|
6.372 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 |
|
5.801 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4.92 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.045 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i 1 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3i |
|
|
x3i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6.372 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
x3 |
0.91 |
|
|
|||||
|
|
|
|
0.772 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.321 |
|
|
||
Четверте власне число: |
4 5.6 |
|
|
|
4 root(f( 4) 4) |
4 |
5.652 |
||||
41 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j 2 n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
4j 4 4j 1 pj 1 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
0.348 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
2.167 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.489 |
|
|
||
x4 41 c3 42 c2 43 c1 44 c0
44.584
37.411 x4 34.277
49.677
i1 4
x4i |
x4i |
|
|
|
49.677 |
0.897
0.753 x4 0.69
1
|
|
|
0.293 |
|
|
|
|
0.74 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Відповідь: |
|
|
0.681 |
; |
|
|
0.645 |
|
; |
|
1 1.42, x1 |
|
1 |
|
2 0.223, x2 |
|
0.218 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
0.44 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
49
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.897 |
|
|
|
0.91 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
4 5.652, |
|
0.753 |
|||||||
3 1.545, x3 |
|
0.772 |
|
|
x4 |
|
0.69 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
0.321 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
Метод Данилевського |
|
|
||||||||
ORIGIN 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.2 |
1 |
0.5 |
2 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
1 |
1.3 |
2 |
1 |
|
|
|
|
|
||
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
0.5 |
2 |
0.5 |
1.6 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
2 |
1 |
1.6 |
2 |
n 4 |
|
|
||||
Формуємо матрицю М3 та обернену до неї m3:
|
1 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M3 |
0 |
1 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
1 |
m3 M3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
j 1 n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M33 j |
|
A4 j |
if j 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
A4 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
otherwise |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A4 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M3 |
|
|
0 |
|
|
1 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.25 |
0.625 |
0.625 1.25 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
0 |
0 |
1 |
|
|
|
|
m33 j A4 j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m3 |
0 |
1 |
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
1 |
1.6 |
2 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
0 |
1 |
|
|
|
|
Виконуємо перше перетворення подібності над матрицею А:
|
1.575 |
0.688 |
0.313 |
1.375 |
|||
A3 m3 A M3 |
1.5 |
0.05 |
1.25 |
1.5 |
|||
|
1.45 |
4.125 |
4.375 |
2.81 |
|
||
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
1 |
0 |
|
|
Формуємо матриці М2 і обернену до неї m2 на базі матриці А3:
|
1 |
0 |
0 |
0 |
|
M2 |
0 |
1 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
1 |
0 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
1 |
m2 M2 |
j 1 n
50