Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Скачиваний:
7
Добавлен:
23.02.2016
Размер:
1.1 Mб
Скачать

Дисципліна: Радіоавтоматика. Лекція 2.2.

1

Лекція 2.2.

Критерії стійкості автоматичних систем

регулювання

1.Основні Критерії стійкості АСР.

2.Логарифмічний критерій стійкості.

3.Стійкість системи з запізненням.

4.Критерій стійкості Михайлова.

5.Критерій стійкості Найквіста.

1.Основні критерії стійкості АСР.

Логарифмічний критерій визначення стійкості

Дисципліна: Радіоавтоматика. Лекція 2.2.

2

Для стійкості в замкненому стані необхідно, щоб виконувалась умова:

кр ср

2. Логарифмічний критерій стійкості.

Ми розглянули такі характеристики:

1.Система нестійка так як К>1;

2.Система нестійка так як К>1;

3.Система умовно стійка.

Визначення:

Запас стійкості по амплітуді показує на яку величину повинен змінитись модуль розімкненої системи на частоті при якій фазова характеристика досягає значення (-) П для того, щоб замкнена система здавалась на границі стійкості.

Запас стійкості по фазі показу на яку величину повинно збільшитись відставання по фазі розімкненої системи на частоті К=1.

Дисципліна: Радіоавтоматика. Лекція 2.2.

3

Запас стійкості АР 6 120

30

.

Розглянемо приклад: запишемо ланку методом ЛАЧХ. Якщо відомо К=50с-1 Т1=0,04 с система в замкненому стані.

Намалюємо годограф цієї системи:

Знайдемо критичні частоти:

 

 

1

25c 1

 

1кр

 

T

 

 

1

 

Дисципліна: Радіоавтоматика. Лекція 2.2.

4

 

2кр

 

1

100c 1

 

 

 

T

 

 

 

2

 

Щоб визначити нахил і прив’язатись до масштабу знаходимо

L1 20lgK 20lg50 34дБ

Відповідно:

– 20 об./дек.

– 40 об./дек. додаються

60 об./дек.

( ) 90 arctgT1 arctgT2

Запас:

20

8об

 

 

 

В цьому секторі діє К/р

 

 

 

 

 

Складаємо таблиці:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ω

0,1

 

1

10

 

60

100

1000

 

 

 

 

 

 

 

 

 

φ(ω)

-90°

 

-93°

-118°

 

-180°

-211°

-263

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Розглянемо нестійку систему: щоб система була стійкою потрібно

додати ось таку ланку з характеристикою:

Дисципліна: Радіоавтоматика. Лекція 2.2.

5

3. Стійкість системи з запізненням.

При наявності в системі запізнення в розімкненій системі характер зміни перехідних процесів не змінюється, а лише зсувається на час запізнення τ.

Запишемо годограф для ланки запізнення:

Передавальна функція запишеться для Wз (p) e p

Сумарна передавальна функція: Wз (p) W0e p

Годограф такої системи:

Дисципліна: Радіоавтоматика. Лекція 2.2.

6

W( j ) W ( )ej[ ( ) ]

(1)

 

0

W ( j ) W ( )ej ( )

 

0

0

 

Змінимо час запізнення τ:

1) якщо збільшимо τ, то буде змінюватись лише кут, модуль не буде змінюватись у формулі (1). Із малюнка вино, що чим більше збільшувати τ,

то система буде стійкою і нестійкою. Тобто така система залежить від τ.

4. Критерій стійкості Михайлова.

Це графічний критерій. Його запропоновано у 1938 році радянським вченим А.В. Михайловим, він також базується на розгляді полінома D( ).

Рис. 13-1. До критерію стійкості А.В. Михайлова

Підставимо у цей поліном замість уявну змінну j . В результаті отримаємо комплексну функцію

D(j )=UD ( )+ jVD ( ).

Дисципліна: Радіоавтоматика. Лекція 2.2.

7

Тут UD ( ) - дійсна частина, отримана з членів D( ), що містять парні степені

, а VD ( ) - уявна частина, отримана з членів D( ) з непарними степенями .

Зобразимо D(j ) у вигляді годографа у комплексній площині (крива 1

на рис. 13-1, а). Цей годограф називається годографом Михайлова. Кожному

значенню відповідають певні значення UD ( ) і VD ( ) й певна точка на площині. При = 0 функція D(j )= an , тобто годограф починається на дійсній осі. При → ∞ функція D(j ) також необмежено зростає.

Критерій Михайлова формулюється так: система є стійкою, якщо годограф D(j ) , починаючись на дійсній додатній півосі, огинає проти годинникової стрілки початок координат, проходячи послідовно n

квадрантів, де n порядок системи. Доведення критерію див у роботах [3, 11, 33].

На рис. 13-1, а годограф 1 відноситься до стійкої, а годографи 3, 4 й 5

до нестійких систем.

Умовою знаходження системи на границі стійкості є проходження голографа Михайлова через початок координат (штрихова крива 2 на рис. 13- 1, а). Дійсно, у цьому випадку існує значення , при якому D(j )= 0. Тобто,

характеристичне рівняння системи має пару спряжених уявних коренів

= ± j . Останнє саме і означає наявність в системі незатухаючих коливань,

тобто знаходження її на границі стійкості. Незначна зміна параметрів системи, у результаті чого годограф на рис. 13-1, а відійде вліво або вниз від початку координат, робить систему стійкою, а зміна параметрів у протилежний бік нестійкою.

На рис. 4-3, б наведено годографи стійких систем різних порядків до

n = 6.

При практичній побудові годографа D(j ) перш за усе знаходять точки його перетину із координатними осями. Для цього, визначаючи з рівняння

UD ( ) = 0

VD ( ) = 0, а
нулі UD ( )
D(j )

Дисципліна: Радіоавтоматика. Лекція 2.2.

8

значення частот, що відповідають точкам перетину годографа D(j ) з уявною віссю, підставляють їх у вираз VD ( ) . В результаті отримують відповідні ординати. Аналогічно знаходять точки перетину D(j ) з дійсною віссю,

прирівнюючи нулю уявну частину VD ( ) й підставляючи потім знайдені при цьому значення у вираз для UD ( ).

Власне, після знаходження значень , при яких годограф перетинає осі координат, тобто знайдено нулі UD ( ) й VD ( ), для висновку щодо стійкості системи вже немає необхідності будувати сам годограф. З

формулювання критерію Михайлова випливає, що стійкість має місце, якщо та VD ( ) чергуються із зростанням , починаючи з = 0 , коли

UD ( ) > 0.

Щоб не мати справу з високими степенями , побудову годографа

D(j ) можна виконувати по ланках системи. Представимо D(j ) таким чином:

D(j )= R(j )+Q(j )= Ri

(j )+Qi (j ),

(13-1)

i

i

 

де Ri (j ) і Qi (j ) чисельник та знаменник амплітудно-фазової частотної характеристики i-ї ланки приведеної одноконтурної системи.

Згідно виразу (13-1)б побудову годографа D(j ) починають з побудови годографів Ri (j ) та Qi (j ) окремих ланок. Після цього будують годографи

R(j ) і Q(j ) шляхом перемноження годографів Ri (j ) та Qi (j ) відповідно.

Годографи перемножують за звичайним правилом множення векторів, як і при побудові частотних характеристик послідовності ланок за характеристиками окремих ланок. Для кожного значення модулі (величини векторів, проведених з початку координат у відповідну точку годографів)

перемножують, а аргументи (фази цих векторів) складають.

Ri (j )

Дисципліна: Радіоавтоматика. Лекція 2.2.

9

Зауважимо при цьому, що для звичайних типових ланок (за виключенням таких, що диференціюють) дорівнюють просто коефіцієнту передачі ланки ki й, відповідно, у системи, що складається з таких ланок, годограф R(j )= k , тобто замість його побудови для отримання годографа D(j ) достатньо просто зсунути раніше побудований годограф

Qi (j ) вправо на величину k .

5. Критерій стійкості Найквіста

Цей критерій, запропонований у 1932 році американським вченим Г.

Найквістом, дозволяю судити про стійкість замкнутої системи за амплітудно-

фазовою частотною характеристикою (а.ф.ч.х.) W(j ) розімкненої системи

(рис. 13-2, а).

Дисципліна: Радіоавтоматика. Лекція 2.2.

10

Рис. 13-2. До критерію стійкості Г. Найквіста Розглянемо спершу цей критерій для випадку, коли відомо, що система

у розімкненому стані є стійкою. Умова стійкості замкненої системи у цьому разі зводиться до вимоги, щоб а.ф.ч.х. розімкненої системи не охоплювала точку (_1, j0).

На рис. 13-2, а характеристики 1 і 4 відповідають стійким системам,

характеристика 3 нестійкій, а характеристика…

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.

Соседние файлы в папке Радіоавтоматика